Математическая энциклопедия - распределение степенных вычетов и невычетов

распределение среди чисел 1, 2,. . ., т-1 тех значений х, для к-рых сравнение

n>1 целое, разрешимо (неразрешимо). В вопросах, связанных с Р. с. в. и н., наиболее полно изучен случай простого модуля р. Пусть q=( п, р -1). Тогда сравнение yⁿ=x(mod р). разрешимо при значениях хиз множества 1, 2, ... , р-1 и неразрешимо при остальных значениях х(см. Двучленное сравнение).

Однако сравнительно немного известно о том, как расположены эти значения среди чисел 1, 2,. . ., р-1.

Первые результаты о распределении степенных вычетов были получены еще К. Гауссом (С. Gauss, см. [1]) в 1706. С того времени и до работ И. М. Виноградова в вопросах о Р. с. в. и н. были получены лишь отдельные частные результаты. В 1915 И. М. Виноградов (см. [2]) доказал ряд общих результатов о распределении степенных вычетов и невычетов, а также первообразных корней но модулю рсреди чисел 1, 2,. . ., р. В частности, им была получена оценка

для наименьшего квадратичного невычета Nmin и оценка

где k - число различных простых делителей р-1, для наименьшего первообразного корня по простому модулю р. Кроме того, И. М. Виноградовым был высказан ряд гипотез о распределении квадратичных вычетов и невычетов (см. Виноградова гипотезы), стимулировавших ряд исследований в этой области. Так, Ю. В. Линник [3] доказал, что при достаточно большом Nна отрезке [N^e , N] количество простых чисел р, для к-рых Nmin>p^e, не превосходит нек-рой константы С(e), зависящей лишь от e>0. Таким образом, простые числа р, для к-рых Nmin>p^e , если только они существуют, встречаются очень редко. Другим существенным шагом в исследовании гипотез Виноградова явилась теорема Д. Бёрджесса [4]: для любого фиксированного сколь угодно малого максимальное расстояние d(p).между соседними квадратичными невычетами удовлетворяет неравенству

Отсюда, в частности, следует оценка

В этих неравенствах константы , зависят только от и не зависят от р. Доказательство теоремы Бёрджесса, сложное само по себе, основывалось на теореме Хассе Вейля о числе решений гиперэллиптич. сравнения доказательство к-рой требовало привлечения аппарата абстрактной алгебраич. геометрии. Простой вывод теоремы Бёрджесса см. в [5], [6].

Лит.:[1] Г а у с с К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с нем., М., 1959; [2] В и н о г р а д о в И. М., Избранные труды, М., 1952; 13] Л и н н и к Ю. В., "Докл. АН СССР", 1942, т. 36, с. 131; [4] B e r d g e s s D., "Mathematika", 1957, v. 4, № 8, p. 106-12; [5] С т е п а н о в С. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1973, т. 132, с. 237 46; [6] К а р а ц у б а А. А., "Докл. АН СССР", 1968, т. 180, № 6, с. 1287-89. С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985