Математическая энциклопедия - распределений тип

совокупность распределений вероятностей случайных величин, получаемых одна из другой каким-либо линейным преобразованием. Точное определение в одномерном случае таково: распределения вероятностей случайных величин X1 и Х 2 называют однотипными, если существуют постоянные Аи В>0 такие, что распределения величин Х 2 и BX1+A совпадают. Соответствующие функции распределения связаны при этом соотношением

где и

Таким образом, множество функций распределения разбивается на попарно непересекающиеся типы. При этом, напр., все нормальные распределения образуют один тип, все равномерные распределения также образуют один тип.

Понятие типа широко используется в предельных теоремах теории вероятностей. Распределение сумм Sn независимых случайных величин часто "неограниченно расплываются" при и сходимость к предельному распределению (например, к нормальному) оказывается возможной только после линейной "нормировки", т. е. для сумм , где нек-рые константы, при . При этом если для каких-либо случайных величин Х n распределения величин и сходятся к невырожденным предельным распределениям, то эти последние обязательно однотипны. Поэтому можно дать следующее определение сходимости типов (А. Я. Хинчин, 1938). Пусть Т(F) - тип, к-рому принадлежит функция распределения F(из дальнейшего изложения исключается вырожденный тип тип, к-рому принадлежат вырожденные распределения). Говорят, что последовательность типов Т п сходится к типу Т, если существует последовательность функций распределения , сходящаяся (слабо) к функции распределения .Топологизированное таким образом множество типов есть хаусдорфово нерегулярное пространство и, следовательно, неметризуемо (В. Дёблин, W. Doeblin, 1939).

Пусть, теперь, Sn - суммы независимых одинаково распределенных случайных величин и F п - соответствующие функции распределения. Тогда класс типов, предельных для Т(F п), совпадает с классом всех устойчивых типов, т. е. таких типов, что из и вытекает, что свертка F1 и F'2 принадлежит Т(т. е., иными словами, сумма двух независимых случайных величин с распределениями типа Тснова имеет тип Т, см. Устойчивое распределение).

Понятие Р. т. может быть распространено на многомерный случай. Однако это распространение неоднозначно. Выбирая какую-либо подгруппу Gполной группы матриц, можно получить соответствующее понятие Р. т. Случайные векторы Х 1 и Х 2 со значениями из называют G-однотипными, если существует такое преобразование , что X2 и gX1 имеют одно и то же распределение. Соответственно можно ввести понятие G-устойчивости Р. т. По отношению к полной группе матриц устойчивы только нормальные распределения (Г. Сакович, 1960).

Лит.:[1] Г н е д е н к о Б. В., К о л м о г о р о в А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949. Ю. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985