Математическая энциклопедия - распределение дробных долей

распределение в единичном интервале [0.1) дробных долей {aj} последовательности действительных чисел aj, j= =1,2, . . . Последовательность дробных долей {aj}, j=1,2, . . . , наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е нн о й в и н т е р в а л е [0,1), если для каждого интервала имеет место равенство

где jn(а, b) - число первых пчленов {aj}, , последовательности {aj}, j=1,2, . . . , попавших в [ а, b). Прп этом последовательность чисел aj, j= =1,2, . . . , наз. р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н-н о й п о м о д у л ю 1.

К р и т е р и й В е й л я (см. [1]) для равномерно Р. д. д.: бесконечная последовательность дробных долей {aj}, j=1, 2, ... , равномерно распределена в единичном интервале [0, 1) тогда и только тогда, когда

для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции f(x). Это утверждение эквивалентно следующему. Для того чтобы последовательность aj, j= 1, 2, ..., была равномерно распределена по модулю 1, необходимо и достаточно, чтобы

для каждого целого . Из критерия Вейля и его оценок тригонометрии, сумм

следует, что если хотя бы один из коэффициентов as, , многочлена

иррационален, то последовательность дробных долей {f(n)}, n = 1, 2, ... , равномерно распределена в интервале [0, 1).

Понятию равномерного Р. д. д. {aj}, j-1, 2, ... , можно придать количественный характер, если ввести в рассмотрение величину

называемую отклонением первых пчленов последовательности {aj}, j=1, 2, ... (см. [2], [3]).

Лит.:[1] W е у 1 Н., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 313-52; [2]В и н о г р а д о в И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] X у а Ло к е н. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964. С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985