Математическая энциклопедия - размерностей анализ

метод установления связи между физич. величинами, существенными для изучаемого явления, основанный на рассмотрении размерностей этих величин. В Р. а. рассматриваются проблемы установления различных систем единиц измерения, вопросы о выборе первичных величин и соответствующих им опытных единиц измерения и связанное с выбором первичных единиц измерения образование вторичных единиц измерения для величин, определяемых через первичные.

В качестве величин, для к-рых выбираются первичные единицы измерения, можно брать различные. В разных областях приложений выгодно и удобно выбирать в качестве первичных единиц измерения свои местные единицы. В связи с этим и с установившимися обычаями на практике были созданы различные системы единиц измерения и возникла задача о переходе (задача пересчета) от одной системы единиц измерения к другой. Распространены многочисленные системы единиц измерения: в числе главных система СГС, в к-рой первичные сантиметр, грамм-масса и секунда; система МКГСС, в к-рой первичные метр, килограмм-сила и секунда; система СИ, в к-рой первичные метр, килограмм-масса, секунда, ампер, кельвин, кандела. Число первичных единиц измерений в употребляемых или потенциально допустимых системах единиц измерения может быть разным: меньшим трех, равным трем, как в системах СГС и МКГСС, и др. Выражение производной единицы измерения через основные единицы наз. формулой размерности, к-рая записывается через символы первичных единиц измерения и имеет вид степенных одночленов. Напр., в системе СГС формулы размерности содержат три аргумента: единицу длины L, единицу времени Ти единицу массы М;на основании определения силы через массу и ускорение формула размерности силы Кимеет вид

(1)

В системе СГС формулы для любой величины Nмеханической, тепловой или электромагнитной природы имеют вид

(2)

где показатели степеней l, t, т - нек-рые целые или дробные действительные числа, к-рые наз. показателями размерности, или размерностью, величины N. Принимают, что размерность первичной величины в отношении себя равна единице, а в отношении любой другой первичной величины нулю.

Формулы размерности позволяют определить численные масштабные множители для пересчета соответствующих характеристик при изменении величин первичных единиц измерения. Если вместо заданных единиц измерения длины L, времени Ти массы Мперейти к новым единицам измерения, меньшим для длины в a раз, для времени в b раз и для массы в g раз, то новая единица измерения для величины N с размерностью по формуле (2) будет меньше первоначальной в раз.

Если l=t=m=0, то численное значение величины не зависит от выбора масштабов для первичных единиц и, следовательно, такая величина будет безразмерной, или отвлеченной. Примерами безразмерных величин являются: число Рейнольдса Re=

rvl/m ; число Фруда , число Маха M=v/a, число кавитации 2DР/rv²l², где для характерных в нек-рых явлениях размерных величин приняты следующие обозначения: r плотность, v - скорость, l - линейный размер, m динамич. коэффициент вязкости, DР характерная разность давлений, g - ускорение силы тяжести.

Число первичных единиц измерения можно увеличивать, если кроме уже выбранных первичных единиц измерения выбирать по соглашению независимо единицы измерения для любых др. величин, напр. можно взять независимо единицы измерения: для тепловой энергии калорию и для механич. энергии килограммометр, прибавив соотношение: I тепловая энергия в калориях или механич. энергия в килограммометрах, где I размерная "физическая" постоянная, называемая механич. эквивалентом тепла.

Физич. законы, содержащие размерные постоянные, можно использовать для сокращения числа первичных единиц измерения. Так, напр., постоянную скорости света можно считать абсолютной постоянной, т. е. безразмерной величиной, и таким путем выразить единицу измерения и размерность длины через единицу измерения и размерность времени; при рассмотрении гравитационной постоянной как абсолютного безразмерного числа можно выразить размерность и единицу измерения для массы через размерность и единицы измерения для длины Lи времени Т.

В нек-рых вопросах явно проявляется тенденция к стандартизации путем введения единой универсальной системы единиц измерения. Однако привязывание универсальной системы единиц измерения к определенным физически фиксированным масштабам или к соответствующим физич. постоянным является искусственным. Наоборот, возможность использования произвольных единиц измерения и независимость рассматриваемых закономерностей от выбора систем единиц измерения могут служить источником ценных выводов.

Физич. закономерности, вообще говоря, не зависят от выбора системы единиц измерения. Это обстоятельство обусловливает особую структуру функций и функционалов, выражающих собой через посредство размерных величин физич. закономерности, независимые от систем единиц измерения. Эта специальная структура функциональных соотношений устанавливается p-т е о р е м о и: всякое соотношение между размерными характеристиками, имеющее физич. смысл, представляет собой, по существу, соотношение между отвлеченными безразмерными комбинациями, к-рые можно составить из размерных определяемых и определяющих величин, среди к-рых должны учитываться и размерные физич. постоянные, имеющие существенное значение в рассматриваемых явлениях.

Дополнительные данные об отсутствии нек-рых физич. постоянных в рассматриваемом соотношении приводят к сокращению в этих соотношениях существенных аргументов. Напр., если в рассматриваемых тепловых и механич. явлениях нет преобразования перехода тепловой энергии, измеряемой в калориях, в механическую, измеряемую в эргах, то постоянная механич. эквивалента тепла будет отсутствовать среди аргументов функции, описывающей соответствующую закономерность.

Для получения полезных выводов с помощью Р. а. необходимо схематизировать проблему и, прежде всего, фиксировать общее моделирование явлений и свойств рассматриваемых объектов. Во многих случаях такая схематизация может быть связана с рядом рабочих гипотез. В рамках нек-рых моделей устанавливается система характеристик, к-рые связаны между собой физич. соотношением и к-рые согласно p-теореме должны представляться как соотношения между безразмерными параметрами. Таким образом, нужно ввести систему определяющих параметров постоянных или переменных, вытекающую из постановки выделяемого класса задач и характеризующую, вообще говоря, полностью для данной среды каждую отдельно взятую задачу.

При выделении минимального числа определяющих параметров требуется учитывать условия симметрии и выбор выгодных систем координат. Независимые переменные (координаты точек пространства и времени) и физич. параметры типа коэффициентов теплопроводности, вязкости, модулей упругости и т. п. необходимо включать в таблицу определяющих параметров. Такие постоянные, как ускорение силы тяжести или механич. эквивалент тепла, тоже должны фигурировать в перечне определяющих параметров, когда гравитация или переход тепловой энергии, измеряемой в калориях, в механическую, измеряемую в килограммометрах (или в эргах), существенны.

Для выделенного класса задач необходимо включать в число определяющих параметров размерные или безразмерные характеристики заданных границ рассматриваемых тел и задаваемых функций, участвующие в формулировке начальных, краевых или каких-либо других условий.

Если рассматриваемая задача сформулирована как математическая, то можно выписать полную таблицу аргументов для соотношений вида

а = f (a1, a2, . . ., а n), (3)

где а искомая величина, а a1, . . . , а попределяющие параметры. В зависимости от постановки задачи число пможет быть конечным или бесконечным. Обычно при соответствующем фиксировании класса рассматриваемых задач можно ограничиваться случаями, когда пконечно и, вообще говоря, невелико. Параметры a1, . . ., а n составляются из задаваемых величин, входящих в основные уравнения, граничные условия и начальные данные. Определяющие параметры это все исходные данные, к-рые надо знать предварительно по смыслу постановки математич. задачи для вычисления искомой функции различными путями, в том числе и при расчетах на специальных машинах или с помощью аналоговых систем.

Определяющие параметры при получении нужных ответов с помощью экспериментов это величины, характеризующие каждый отдельный опыт, величины, к-рые необходимы и достаточны для повторения и сравнения различных экспериментов.

Можно выписать систему определяющих параметров и в тех случаях, когда детальные свойства модели и системы уравнений, описывающих рассматриваемые явления, вообще говоря, неизвестны: достаточно опереться на предварительные данные или гипотезы о виде задаваемых функций и о постоянных, к-рые входят или могут входить в определение модели, и на др. условия, выделяющие конкретные решения задачи.

Выводы Р. а. получаются на основании p-теоремы о существовании соотношения вида (3), к-рое выполняется для определяемой величины и определяющих величин а 1, . . ., а n в любой системе единиц измерения.

Система аргументов в соотношении (3) должна в смысле теории размерностей обладать полнотой. Это значит, что если величина аотлична от нуля или бесконечности, то существуют числа a1, . . ., an такие, что размерности величины аи комбинаций одинаковы. На основании этого и p-теоремы соотношение (3) можно переписать в виде