Математическая энциклопедия - алгебраическая кривая

алгебраическое многообразие размерности 1. А. к. является наиболее изученным объектом алгебраической геометрии. В дальнейшем под А. к. понимается, как правило, неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым полем.

Наиболее простым и интуитивно ясным является понятие плоской аффинной А. к. Это множество точек аффинной плоскости удовлетворяющих уравнению многочлен с коэффициентами из алгебраически замкнутого поля k. Поле рациональных функций неприводимой А. к. над kесть поле алгебраич. функций одного переменного и имеет вид где хи усвязаны уравнением а многочлен над k. Это означает, что всякая А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной кривой.

Уже давно было замечено, что даже при изучении аффинных кривых глубокие закономерности удается вскрыть только при учете бесконечно удаленных точек и детальном исследовании особенностей. Для изучения всех точек аффинной кривой ее погружают в проективное пространство с последующим замыканием в Зариского топологии. Таким образом получается проективная кривая X, причем исходная аффинная кривая У может быть получена из Xвыбрасыванием конечного числа точек. Если Yнеприводима, то Xи Y бирационально изоморфны. Каждая полная А. к. является проективной. Если X - гладкая проективная кривая (г. п. к.), то все кольца нормирования поля исчерпываются локальными кольцами Если две г. п. к. бирационально эквивалентны, то они изоморфны. Нормальная А. к. является гладкой. В частности, всякая неприводимая А. к. бирационально эквивалентна г. п. к. Получаемая в процессе нормализации гладкая проективная модель А. к. лежит в нек-ром пространстве Любая г. п. к. изоморфна кривой, расположенной в Каждая плоская А. к. кремоновым преобразованием может быть преобразована в кривую с обыкновенными особыми точками.

Дивизоры, на гладкой А. к. представляют собой линейные комбинации точек с целыми коэффициентами

почти для всех х. Если все то дивизор Dназ. положительным, или эффективным, что обозначается Степенью дивизора D наз. число

Главные дивизоры образуют подгруппу Р(X).группы Div Xвсех дивизоров на X. Факторгруппа наз. группой классов дивизоров и обозначается через Сl(Х). Группа Сl(Х) изоморфна группе Pic (X).классов одномерных векторных расслоений на X(см. Векторное алгебраическое расслоение). Степень главных дивизоров на г. п. к. равна нулю, поэтому все дивизоры из одного класса имеют одну и ту же степень. В частности, можно говорить о степени класса дивизоров и о подгруппе классов дивизоров степени 0. Справедливо следующее равенство:

Для прямой т. е. любой дивизор степени 0 является главным. Это свойство характерно для рациональных г. п. к.

Для любой полной А. к. Xчисло наз. арифметическимродом А. к. X. Если X - гладкая, то я совпадает с размерностью пространства всех регулярных дифференциальных форм на X, эта размерность наз. родом А. к. X. По определению, род А. к. равен роду ее неособой модели. Для любого неотрицательного целого числа gсуществует А. к. рода g. Рациональные кривые характеризуются равенством g=0. Если Xпроективная плоская кривая порядка т, то

а ее род вычисляется по формуле:

где dнеотрицательное целое число, измеряющее отклонение от гладкости на X. Если Xимеет только обыкновенные двойные точки, то dесть просто число особых точек. В частности, плоская г. п. к. имеет род

откуда следует, что не всякая г. п. к. является плоской. Для пространственной кривой Xимеет место оценка

где п - степень X. Кривые n-й степени максимального рода существуют для каждого значения пи лежат на квадрике (М. Альфаи, М. Alphen, 1870, см. [8]).

Степень канонич. класса г. п. к. Xсвязана с родом кривой формулой deg Если г. п. к. Xлежит на гладкой алгебраич. поверхности F, то имеет место формула присоединения: В частности, Для произвольного дивизора Dна Xможно рассмотреть подмножество поля k(X), состоящее из нуля и тех функций f, для к-рых Это-линейное пространство над kконечной размерности l(D). Размерность полной линейной системы, определяемой дивизором D, равна l(D) -1. Вычисление размерности l(D).является важной задачей теории А. к. Наиболее сильный результат в этом направлении Римана Роха теорема. Для г. п. к. эта теорема заключается в равенстве:

где g - род кривой X. В случае, когда (соответственно ), говорят, что дивизор D специальный (соответственно неспециальный). Для неспециальных дивизоров теорема Римана Роха дает равенство Каждый дивизор степени большей 2g2 является неспециальным.

Класс дивизоров, линейно эквивалентных дивизору Dна г. п. к. X, определяет точку на Якоби многообразии J(X).А. к. X. Это многообразие совпадает с Алъбанезе многообразием и Пикара многообразием А. к. X. Точки, соответствующие классам специальных дивизоров ¹, есть особые точки Пуанкаре дивизора на J(X). Если обозначает подмножество точек J(X), соответствующих классам дивизоров Dс deg D = n и l(D)=r, то образует подсхему в J(X).и

(теорема Римана Брилля Нётера). Эта теорема имеет многочисленные применения, одним из к-рых является следующее. Всякий дивизор D, для к-рого определяет рациональное отображение кривой Xв проективное пространство Отображение зависит от класса D. Если то определяет изоморфное вложение кривой Xв Р ^т, причем не содержится ни в каком собственном подпространстве пространства . Наиболее интересным с точки зрения бирациональной классификации кривых являются отображения , соответствующие кратности пК канонич. класса кривой X. При класс 3K определяет изоморфное вложение г. п. к. в При этом кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их образы получаются друг из друга проективным преобразованием пространства Исследование отображения позволило получить более тонкую характеристику кривых рода Для этих кривых отображение будет изоморфным вложением в том и только том случае, когда Xне является гиперэллиптической кривой. В случае, когда изоморфизм, кривая наз. канонической; она определена однозначно с точностью до проективных преобразований в Важнейшей задачей теории А. к. является классификация кривых с точностью до бирационального изоморфизма. В этом направлении получен ряд сильных результатов, но исчерпывающего решения задачи пока (1977) не имеется. Г. п. к. можно разбить на следующие 4 класса:

1) кривые рода 0 бирационально эквивалентны Р';

2) кривые рода 1 (эллиптич. кривые) бирационально эквивалентны гладкой кубической кривой в .Р ²;

3) гиперэллиптич. кривые;

4) негиперэллиптич. кривые рода бирационально эквивалентны канонич. кривой в (А. к. основного типа).

Род кривой не характеризует полностью бирацио-нальный класс А. к. Единственное исключение составляют кривые рода 0. В случае, когда kесть поле комплексных чисел множество классов изоморфных друг другу эллиптич. кривых описывается точками фак-торпространства H/G, где Н - верхняя полуплоскость, G - модулярная группа, состоящая из дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами и определителем, равным +1. Пространство H/G имеет строение аналитич. многообразия, изоморфного (см. Эллиптическая кривая). Классы бирационально эквивалентных кривых рода g> 1 описываются точками некоторого алгебраич. многообразия Mg размерности 3g-3, называемого многообразием модулей кривых рода g. Это многообразие неприводимо. Есть гипотеза, что М g унирационально, но она доказана только для g<11 (Ф. Севери, F. Severi).

Имеют место следующие результаты о группе Aut (X).автоморфизмов г. п. к. X.1) Если Xесть то Aut (X) - группа дробно-линейных преобразований PGL(1, k). 2).Если X - эллиптическая кривая, то Aut(AT) есть алгебраич. группа, связная компонента единицы к-рой совпадает с группой точек X(k).3) Если X - кривая рода g>l, то Aut(X) всегда конечная группа. Ее порядок ограничен числом 84(g 1) (см. [6]). В последнем случае важную роль при изучении группы Aut(X) играют Вейерштрасса точки на X.

Другой способ изучения группы Aut(X) дает тот факт, что каждая г. п. к. является конечным (разветвленным) накрытием проективной прямой.