Математическая энциклопедия - алгебраическая поверхность

двумерное алгебраическое многообразие. Вместе с алгебраическими кривыми А. п. представляют собой наиболее изученный класс алгебраич. многообразий. Богатство задач и идей, применяемых для их решения, делает теорию А. п. одним из самых интересных разделов алгебраич. геометрии.

В отличие от алгебраич. кривых, две бирационально изоморфные А. п. могут не быть бирегулярно изоморфными. На классич. этапе развития алгебраич. геометрии (1868-1920) под А. п. понимался фактически класс по бирациональной эквивалентности, а его представители считались погруженными в комплексное трехмерное проективное пространство где они задавались одним однородным алгебраич. уравнением Начало теории А. п. положили работы А. Клебша (A.Clebscli) и М. Нётера (М. Noether) (конец 60-х начало 70-х гг. 19 в.), в к-рых были определены первые важные инварианты А. п. геометрич. род и канонич. класс. Дальнейшей разработкой теории А. п. занимались представители итальянской школы алгебраич. геометрии К. Сегре (С. Segre), Л. Кремона (L. Cremona), Э. Бертини (Е. Bertini), Г. Кастельнуово (G. Castelnuovo), Ф. Энрикес (F. Enriques), Ф. Севери (F. Se-veri) и др. Топологические и трансцендентные методы в теорию А. п. были введены Э. Пикаром (Е. Picard), А. Пуанкаре н С. Лефшецем (S. Lefschetz). Многие полученные в этих работах общие факты об А. п. оказались затем справедливыми для алгебраич. многообразий и схем произвольной размерности. Часть же результатов до сих пор не поддается обобщению на многомерный случай. Таковы, напр., классификация А. п. с помощью численных инвариантов, критерии рациональности и линепчатости А. п., теория минимальных моделей. Большинство из них были критически пересмотрены и передоказаны современными когомологическими методами в 50-60-х гг. 20 в. (см. [1], 15], [8]).

Общие факты об алгебраических поверхностях. Всюду в дальнейшем, если не оговорено специально, под А. п. понимается проективная А. п. над алгебраически замкнутым полем k.

а) Разрешение особенностей. Первые строгие доказательства существования неособой модели А. п. были даны в 30-х гг. 20 в. (Р. Уокер, R. Walker; О. Зариский, О. Zariski). Ранее существовавшие геометрич. доказательства итальянских геометров содержали пробелы (см. [9]). В случае положительной характеристики основного поля существование неособой модели А. п. было доказано в 1956 (см. Разрешение особенностей).

Каждая неособая А. п. может быть бирационально спроектирована в на поверхность с обыкновенными особенностями двойными обыкновенными кривыми с конечным числом на них обыкновенных каспидальных точек и тройных точек, являющихся трипланарными особыми точками поверхности. Именно такие поверхности являлись основными объектами исследования на классич. этапе развития теории А. п. Теорема о разрешении особенностей А. п. позволяет применить для локального изучения особых точек А. п. глобальные методы теории схем. Основополагающей в этом направлении явилась работа Д. Мамфорда (D. Mumford, 1961), в к-рой были введены важные инварианты двумерных особенностей и доказано, что топологич. пространство нормальной А. п. является топологич. многообразием в том и только том случае, когда поверхность неособая.

б) Численные инварианты А. п. Обобщением понятия рода алгебраич. кривой в теории А. п. является понятие геометрич. рода А. п. V - максимальное число линейно независимых регулярных двумерных дифференциалов на V(см. Геометрический род). Виртуальный арифметич. род дивизоров из канонич. системы А. п. Vназ. линейным родом и обозначается через р ⁽¹⁾. Для неособой А. п. имеет место равенство

где первый Чжэня класс касательного расслоения к поверхности V. Кратные канонич. системы наз. плюриканоническими системами А. п. У. Число наз. i-родом и обозначается через оно совпадает с размерностью всюду регулярных i-кратных двумерных дифференциальных форм на V.

Согласно формуле постулации Кэли Нётера, число Nm линейно независимых форм достаточно большой степени т., проходящих через пространственную кривую степени dрода тройными точками и двойными точками, дается формулой

Для А. п. с обыкновенными особенностями в 1875 был введен в рассмотрение арифметич. род pa(V), определяемый формулой:

здесь степень, число двойных точек, род, а t число тройных точек двойной кривой V(для неособых поверхностей считается ). Позже были даны другие эквивалентные определения pa(V).(см. Арифметический род).

Разность всегда неотрицательна, она наз. иррегулярностью А. п. Vи обозначается через g(V). А. п. наз. регулярной (соответственно иррегулярной), если q(V).0(соответственно q(V)>0). Первые примеры иррегулярных поверхностей были приведены в конце 19 в. (А. Кэли, A. Cayley; Г. Кастельнуово). Иррегулярность может быть охарактеризована как максимальная недостаточность линейной системы, высекаемой системой |C+KV| на кривой С(Ф. Энрикес, 1896, см. [9]). Кого-мологич. определение р а и qдля неособых А. п. дается формулами:

Арифметич. род неособой А. п. Vвыражается через классы Чжэня касательного расслоения к У по формуле:

наз. формулой Нётера. Число наз. инвариантом Цейтена Сегре.

в) Теорема РиманаРоха для А. п. Обобщение теоремы Римана Роха для алгебраич. кривых на случай А. п. принадлежит Г. Кастельнуово (1897). Для неособой А. п. Vи полной линейной системы дивизоров виртуальной степени и виртуального рода теорема Римана Роха утверждает существование неравенства

Здесь число наз. индексом специальности дивизора D. Когомологич. доказательство этой теоремы (см. Римана Роха теорема).позволяет дать необходимое и достаточное условие для превращения предыдущего неравенства в равенство. Оно состоит в обращении в нуль пространства когомологий Для любого дивизора Dи достаточно больших чисел пдоказано, что где а Н - гиперплоское сечение поверхности V (Ж. П. Серр, J. P. Serre, 1955). В случае нулевой характеристики основного поля неравенство превращается в равенство для любого обильного дивизора D. Этот результат обобщает классич. теорему Пикара Северно регулярности присоединенной системы (см. [9]).

г) Системы кривых на А. п. Основным методом в исследованиях итальянских геометров была созданная ими теория линейных и алгебраич. систем кривых на А. п. С этой теорией тесно связаны понятия алгебраич. и линейной эквивалентностей дивизоров. Эти понятия не совпадают только для иррегулярной А. п. (Г. Кастельнуово, 1896). Всякая достаточно общая кривая на А. п. Vиррегулярности qсодержится в максимальном алгебраич. семействе, к-рое расслаивается на линейные системы одинаковой размерности, а базой расслоения служит многообразие размерности q(Ф. Энрикес, 1904). Это многообразие является абеле-вым многообразием и наз. многообразием Пикара А. п. V(см. Пикара схема). Доказательство приведенного выше результата Ф. Энрикеса (носящего назв. "фундаментальной теоремы в теории иррегулярных поверхностей", или "теоремы о полноте характеристического ряда"), так же как и последующие доказательства Ф. Се-вери, содержало пробелы. Первое строгое трансцендентное доказательство этой теоремы получено в 1910 А. Пуанкаре, и только через 50 лет было дано алгебраич. доказательство (А. Гротендик, A. Grothendieck, см. [5]). В случае положительной характеристики основного поля эта теорема, вообще говоря, неверна (Д. Игуса, J. Igusa, 1955). В общем случае доказано, что qне меньше размерности многообразия Пикара.

Несовпадение алгебраической и линейной эквивалентностей на А. п. влечет существование на ней всюду регулярных одномерных дифференциалов. Размерность пространства таких дифференциалов в случае совпадает с иррегулярностью (Г. Кастельнуово, Ф. Севери, 1905). Этот факт является частным случаем равенства dim справедливого для произвольных компактных кэлеровых многообразий V. В случае char k>0 этот результат перестает быть верным.

Группа классов дивизоров относительно алгебраич. эквивалентности конечно порождена (см. Нерона Севери группа). Ее ранг обозначается через r и наз. числом Пикара А. п. V. Порядок подгруппы кручения этой группы обозначается через аи наз. делителем Севери А. п. V(см. [9]).

Ф. Севери положено также начало теории нульмерных циклов на А. п., в к-рой осталось еще много интересных нерешенных вопросов.

д) Топологические свойства А. п. Неособая проективная А. п. над полем комплексных чисел представляет собой компактное 4-мерное ориентированное вещественное многообразие, в частности для такой А. п. определены группы целочисленных гомологии и когомологий удовлетворяющие Пуанкаре двойственности. Каждый дивизор на А. п. V определяет двумерный цикл, при этом алгебраически эквивалентные нулю дивизоры соответствуют гомологичным нулю циклам. Индекс пересечения дивизоров совпадает с топологич. индексом пересечения циклов. Имеют место равенства: а равно порядку группы кручения группы где первое число Бетти поверхности V([4], [9]). Для исследования топологии А. п. был развит метод, основанный на рассмотрении линейного пучка кривых на поверхности и изучении поведения топологии кривых, варьируемых в этом пучке. Таким способом была доказана односвязность неособых гиперповерхностей в (см. [6]). Этот метод позже нашел применение также для изучения топологии многообразий высшей размерности.

Теория этальных когомологий схем позволяет сформулировать и доказать алгебраич. аналоги многих классич. утверждений о топологии А. п. для поверхностей, определенных над полем произвольной характеристики. В частности, определены группы l-адических когомологий фундаментальная группа и гомотопический тип А. п. (см. [9]).

Начало теории интегралов на А. п. положили работы Э. Пикара [6]. В дальнейшем его результаты были обобщены на многообразия высшей размерности (В. Ходж, W. Hodge, 30 -40-е гг. 20 в.). Из этих результатов, в частности, следует неравенство. Кроме того, доказано, что число положительных квадратов в квадратичной форме, определяемой на индексом пересечения, равна Аналоги этих результатов для случая поля конечной характеристики неверны. Развитие трансцендентной теории А. п. связано с работами Ф. Гриффитса (P. Griphits).

е) Проективные погружения А. п. В связи с возникновением понятия абстрактного алгебраич. многообразия встал вопрос о существовании (абстрактных) А. п., непогружаемых в проективное пространство. Доказано, что неособая полная А. п. всегда является проективной [8]. Существуют полные особые непроективные А. п. Имеются различные численные критерии проективности А. п. (см. Обильный пучок). Каждое неособое двумерное алгебраич. пространство является А. п.

Минимальные модели алгебраических поверхностей. Неособая А. п. Vназ. минимальной моделью, если каждый бирациональный морфизм на неособую А. п. Vявляется изоморфизмом. В каждом классе по бирациональной эквивалентности существует минимальная модель. За исключением классов линейчатых поверхностей, эта минимальная модель единственна с точностью до изоморфизма ([2], [8], [1]). Для того чтобы А. п. была минимальной моделью, необходимо и достаточно, чтобы на ней не было исключительных кривых 1-го рода, т. е. неприводимых кривых, стягивающихся в неособую точку при нек-ром бирациональном морфизме. Впервые такие кривые были исследованы в 1895 М. Нётером. Они характеризуются условиями: С - рациональная неособая кривая и (см. [1], [2]). Минимальные модели линейчатых поверхностей полностью классифицированы.

Классификация алгебраических поверхностей. Согласно классификации Ф. Энрикеса (см. [2]), каждая неособая А. п. над полем нулевой характеристики с точностью до бирациональной эквивалентности принадлежит к одному из следующих типов: а) линейчатые поверхности;б) двумерные абелевы многообразия;