Математическая энциклопедия - дифференциальное неравенство

неравенство, связывающее аргумент, неизвестную функцию и ее производные, напр.,

где у(х)неизвестная функция аргумента х. Основная проблема теории Д. н.по заданному Д. н. и дополнительным (начальным или граничным) условиям описать совокупность всех его решений.

Большую группу составляют Д. н., получающиеся из дифференциальных уравнений хорошо изученных классов заменой знака равенства на знак неравенства, что равносильно добавлению к одной из частей уравнения заранее не уточняемой функции определенного знака. Представляет интерес сравнение решений таких Д. н. с решениями соответствующих дифференциальных уравнений. Так, для любого решения Д. н. (1) справедливы оценки [1]:

где

на любом интервале [ х 1, х 2] существования обоих решений. Это простое утверждение широко применяется для оценок решений дифференциальных уравнений (путем перехода к соответствующему Д. н. с легко указываемым частным решением), области продолжимости решений, разности между двумя решениями, для вывода условий единственности решения и т. д. Справедливо аналогичное утверждение [2] и для Д. н. (неравенство Чаплы г.