Математическая энциклопедия - гармоническая мажоранта

наименьшая гармоническая мажоранта семейства нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант vk , семейства субгармонич. функций на открытом множестве Dевклидова пространства т. е.

Г. м. либо является гармонич. функцией, либо В случае семейства, состоящего из одной функции и, субгармонической на более широком множестве иногда используется также понятие наилучшей Г. м. решения обобщенной задачи Дирихле для Dпо значениям ина границе Всегда причем справедлива формула [1]

где ассоциированная с имера, (обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D. Наилучшая н наименьшая Г. м. совпадают тогда и только тогда, когда множество всех иррегулярных точек Г имеет -меру нуль.

Соответственно, если семейство супергармонич. функций на D, то наибольшая гармоническая миноранта семейства определяется как верхняя огибающая семейства всех субгармонич. минорант семейства ; при этом есть наименьшая Г. м. для семейства .

Другую постановку вопроса о Г. м., связанную с задачей Коши для уравнения Лапласа, см. в ст. Гармоническая функция.

Лит.:[l] Frostman О., Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles avec qvielques applications a la theorie des fonctions, Lund, 1935; [2] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964, гл. 2, 9. Е.