Математическая энциклопедия - гармоническая мера

понятие теории гармонических функций, возникшее в связи с проблемами оценки модуля аналитич. функции внутри области, когда известны те или иные оценки модуля на границе области (см. [1], [2]). Пусть D - ограниченное открытое множество евклидова пространства граница конечная действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функции f соответствует единственная гармония, функция на D, являющаяся для f обобщенным решением Дирихле задачи. Если считать точку фиксированной, то функционал Н f(x).определяет на компактном множестве Г положительную борелевскую меру к-рая и называется гармонической мерой в точке х. Для всякой непрерывной на Г функции f справедлива формула представления обобщенного решения задачи Дирихле

полученная Ш.-Ж. Валле Пуссеном [3] выметания методом. Более того, если Епроизвольное борелевское множество на Г, то Г. м. Множества Ев точке хравна значению в хобобщенного решения задачи Дирихле для характеристпч. функции , , множества Е.

Основные свойства Г. м: гармонич. функция точки хна D;

если D - область и хвтя бы в одной точке хО D, то

В последнем случае Еназ. множеством нулевой Г. м. Если компактное множество имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной области D, , то есть то оно имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области то есть Кесть множество нулевой абсолютной Г. м. Множество Кимеет нулевую абсолютную Г.