Математическая энциклопедия - гармонический анализ абстрактный

теория абстрактных Фурье рядов и Фурье интегралов. Классический гармонич. анализ-теория рядов Фурье и интегралов Фурье интенсивно развивался под влиянием физич. задач в 1819 вв., и в работах П. Дирихле (P. Dirichlet), Б. Римана (В. Riemann), А. Лебега (Н. Lebesgue), М. Планшереля (М. Plancherel), Л. Фейера (L. Fejer), Ф. Рисса (F. Riesz) оформился в самостоятельную математич. дисциплину.

Дальнейшее развитие гармонич. анализа привело к установлению разнообразных связей гармонич. анализа с общими вопросами теории функций и функциональным анализом. Открытие Хаара меры и развитие теории представлений бесконечных групп, начиная с работ Г. Вейля и Ф. Петера (см. [1]) по теории представлений бикомпактных групп и работ Л. С. Понтря-гпна [2] по теории характеров локально бикомпактных абелевых групп, поставили вопрос о естественных границах основных результатов классического гармонического анализа. Эта задача основана на следующей интерпретации обычного ряда Фурье в комплексной форме. Пусть i(x)-комплекснозначная суммируемая с квадратом функция на окружности единичной длины (или на отрезке [О, 1]), сД- ее коэффициенты Фурье по системе

Тогда ряд Фурье

функции сходится в среднем к в .

Мера Лебега на [0, 1] порождает меру Хаара на окружности (единичной длины) G, рассматриваемой как группа вращений плоскости, а функции представляют собой полный набор неприводимых унитарных представлений топология, группы G. Поэтому все величины, входящие в определение ряда Фурье, получают теоретико-групповой смысл и появляется возможность обобщения понятия ряда Фурье, основанная на теории неприводимых унитарных представлений топо-логич. групп. При этом Г. а. а. не только позволяет найти естественную форму результатов классического гармонич. анализа на прямой или окружности, но и установить новые результаты, относящиеся к большим классам топологич. групп.

Г. а. а. как гармонический анализ на группах зародился в значительной мере на основе теории характеров локально бикомпактных абелевых групп, созданной Л. С. Понтрягиным [2] (см. также [7], [8], [9]). Г. а. а. является одной из естественных областей приложения методов теории банаховых алгебр и может до нек-рой степени рассматриваться как одна из ветвей этой теории. С другой стороны, рамки Г. а. а. являются естественными для ряда классических задач теории функций и функционального анализа.

Приложения Г. а. а. весьма многообразны. Результаты Г. а. а. применяются в общей теории локально бикомпактных групп (напр., в структурных теоремах), в теории динамич. систем, в теории представлений бесконечных групп (к-рая, в свою очередь, служит одним из основных инструментов Г. а. а.) и во многих других математич. теориях.

Наиболее разработанным разделом Г. а. а. является теория интеграла Фурье на локально бикомпактной абелевой группе. Среди некоммутативных групп особое положение занимают бикомпактные группы, теория представлений к-рых имеет сравнительно простой и законченный вид: для бикомпактных групп получен ответ на многие классич. вопросы гармонич. анализа. В случае небикомпактных некоммутативных групп общая теория далека от завершения (1977). Однако и в этом случае известны естественные границы ряда фундаментальных результатов классического гармонич. анализа.

Связь задач Г. а. а. с теорией банаховых алгебр основана на возможности построить по любой локально бикомпактной топологич. группе G две банаховы алгебры, играющие большую роль в теории представлений группы G: групповую алгебру и алгебру мер , к-рая определяется следующим образом. Пусть множество непрерывных функций f на G с бикомпактным носителем, банахово пространство ограниченных регулярных мер на . Введение в М(G) умножения свертки и инволюции посредством соотношений (для всех )

превращает в банахову алгебру с инволюцией, называемую алгеброй мер группы G. Если левоинвариантная мера Хаара на G, то сопоставление каждому элементу групповой алгебры меры приводит к изометрич. отображению алгебры на замкнутую подалгебру алгебры мер , сохраняющему инволюцию. В этом смысле может рассматриваться как замкнутая подалгебра алгебры .

Г. а. а. на локально бикомпактной абелевой группе. Для построения интеграла Фурье на локально бикомпактной абелевой группе G необходимы следующие факты. Любое неприводимое унитарное представление G одномерно и определяет непрерывный гомоморфизм G в мультипликативную группу Uкомплексных чисел с модулем 1. Такое отображение наз. унитарным характером группы . Пусть группа характеров группы G. Теорема двойственности Понтрягина утверждает, что отображение определяемое формулой

где есть топологич. изоморфизм группы G на (см. [2], [3], [4], [6]). При этом группа G бикомпактна тогда и только тогда, когда двойственная к ней группа дискретна. Группа характеров аддитивной группы Кнедискретного локально бикомпактного поля изоморфна К;группа характеров группы Uизоморфна группе целых чисел Z. Если Н - замкнутая подгруппа группы и множество таких что на Н, то есть замкнутая подгруппа группы , , и любой унитарный характер подгруппы Нпродолжается до унитарного характера группы G.

Интегралом Фурье на группе G (или преобразованием Фурье на группе G) наз. отображение F, к-рое мере ставит в соответствие функцию на определяемую равенством

Копреобразованием Фурье наз. отображение определяемое равенством

Для функция обозначается или (соответственно ). Отображения и являются мономорфизмами в образом для М(G).при этих отображениях служит алгебра В(G) линейных комбинаций непрерывных положительно определенных функций на Справедлива обобщенная теорема Бохнера (см. [4], [6]): функция Fmявляется положительно определенной функцией на G тогда и только тогда, когда положительная мера, и в этом случае

где единица группы

Топологич. пространство канонически гомеоморфно спектру кольца (или пространству максимальных идеалов алгебры ). Именно, характеру ставится в соответствие характер коммутативной алгебры , определяемый формулой

при этом копреобразование Фурье совпадает на с Гелъфанда представлением алгебры . Спектр кольца , вообще говоря, не гомеоморфен .

Пусть мера Хаара на а соответствующее гильбертово пространство. Справедлива следующая теорема Планшереля (см. [4], [16]): если то и при нек-рой нормировке мер и отображение множества продолжается единственным образом до унитарного оператора из в Этот оператор наз. преобразованием Фурье в .В этом случае меры и наз.

согласованными. Пусть через A(G) обозначено линейное подпространство пространства , порожденное функциями вида , где Справедлива следующая формула обращения Фурье (см. [4], [16]): если то и для всех имеет место равенство

т. е. если каноническое отображение в то для всех . Пусть множество таких , что . Тогда сужение Fна есть взаимно однозначное отображение на обратное отображение есть сужение на . Если , , то Классическая Пуассона формула суммирования получает в Г. а. а. следующую естественную интерпретацию. Пусть И - замкнутая подгруппа группы G, dg - мера Хаара на G, dh - мера Хаара на H и dk- мера Хаара на . Пусть отождествляется с и мера Хаара на , согласованная с dk. Наконец, пусть и пусть сужение на. непрерывной функции интегрируемо по мере . Тогда для почти всех функция на Нинтегрируема по мере и

Эта формула наз. обобщенной формулой суммирования Пуассона.

Важной внутренней задачей Г. а. а. является изучение банаховых алгебр и с точки зрения преобразования Фурье на G. Алгебра есть вполне симметричная алгебра. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда Gдискретна. Если не дискретна, то содержит несимметричные максимальные идеалы. Пусть (соответственно ) множество преобразований Фурье элементов алгебры (соответственно ). и являются алгебрами функций на ; при этом регулярная алгебра, и тогда и только тогда, когда для нек-рых . Множество тех , для к-рых носитель функции бикомпактен, есть плотное подмножество в .

Следующие результаты описывают функциональные свойства преобразования Фурье на G. Пусть F - функция, определенная на [ 1,1], и пусть Gнедискретна. Пусть Fдействует на , т. е. для любой функции , область значений к-рой лежит в [ 1, 1]. Тогда Fаналитична на [-1,1], и если Gнедискретна, то . Обратно, аналитическая на [ 1,1] функция , если Gнедискретна) действует на . Функция Fдействует на В(G).тогда и только тогда, когда Fесть сужение на [-1, 1] целой вещественной аналитич. функции. Пусть Fопределена на и есть бесконечная дискретная группа. Fдействует на тогда и только тогда, когда и Fаналитична в некоторой окрестности начала (см. [12], [13], где имеется подробная библиография).

Традиционным вопросом теории банаховых алгебр является вопрос о структуре и свойствах замкнутых подалгебр. Следующие результаты относятся к замкнутым подалгебрам алгебры . Пусть S - боре-левская полугруппа в локально бикомпактной абеле-вой группе и максимальная подалгебра в . Тогда Sсодержится в замкнутой полугруппе PМG, индуцирующей архимедов порядок на G. Коммутативная банахова алгебра Аназ. алгеброй Стоуна -Вейерштрасса, если любая ее симметричная подалгебра , отделяющая точки спектра Мкольца Аи не обращающаяся в нуль одновременно ни в одной точке из М, плотна в А. есть алгебра Стоуна Вейерштрасса в том и только в том случае, если G вполне несвязна.