Математическая энциклопедия - гарнака теорема

1) Первая Г. т.: если последовательность функций, гармонических в ограниченной области Gи непрерывных на равномерно сходится на границе , то она равномерно сходится на G к гармонич. функции. Первая Г. т. имеет следующее обобщение для решений эллиптич. уравнения

имеющего единственное решение Дирихле задачи при любой непрерывной краевой функции (см. [1]). Если последовательность решений уравнения (*) равномерно сходится на то она равномерно сходится на Gк решению уравнения (*).

2) Вторая Г. т., принцип Гарнака: если монотонная последовательность функций, гармонических в ограниченной области G, сходится в некоторой точке из G, то она сходится во всех точках области Gк гармонич. функции, и эта сходимость равномерна в любой замкнутой подобласти области G. Вторая Г. т. допускает обобщение и для монотонной последовательности решений эллиптич. уравнения (*).

Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968. Л. И. Камынин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985