Математическая энциклопедия - гармоническая функция

действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения

где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение распространяется и па комплексные функции в том смысле, что их действительные и мнимые части и являются Г. ф. Требования непрерывности и, даже, наличия производных не являются априори необходимыми. Напр., справедлива одна из теорем Привалова: непрерывная в Dфункция и(х).является Г. ф. тогда и только тогда, когда в любой точке для всех достаточно малых выполняется свойство среднего

где шар радиуса Rс центром объем шара элемент объема в .

В случае неограниченной области D с компактной границей Г. ф. может быть доопределена в бесконечно удаленной точке , т. е. может быть доопределена в областях компактифицированного по Александрову пространства . Общий принцип такого доопределения состоит в том, чтобы при простейших преобразованиях, сохраняющих гармоничность (в случае инверсия, в случае Кельвина преобразование).и переводящих конечную точку Г.