Математическая энциклопедия - гарнака неравенство

(двойное) неравенство, оценивающее сверху и снизу отношение двух значений положительной гармонич. функции; получено А. Гарнаком (Харнаком) [1]. Пусть гармоническая в области Gn-мерного евклидова пространства функция, шар радиуса гс центром в точке у. Если замыкание то для всех справедливо неравенство Гарнака

или

Если компакт, то существует число такое, что

для любых В частности,

Из Г. н. следуют: сильный принцип максимума, Гарнака теоремы о последовательностях гармонич. функций теоремы о компактности семейств гармонич. функций, Лиувилля теорема и другие факты. Г. н. обобщается ([3], [4]) на неотрицательные решения широкого класса линейных эллиптич. уравнений вида

с равномерно положительно определенной матрицей

где числа, любой и-мерный вектор, . При этом постоянная Мнеравенства (2) зависит только от некоторых норм младших коэффициентов оператора Lи расстояния между границами Gи g.

Для неотрицательных решений равномерно параболич. урав нений вида (коэффициенты оператора Lмогут зависеть и от t).аналог Г. н. также имеет место [5]. В этом случае возможно только одностороннее неравенство для точек(x ,t) лежащих внутри параболоида с вершиной в точке , обращенного полостью вниз (рис. а). При этом Мзависит от величин нек-рых норм младших коэффициентов оператора Lи от расстояний между границей параболоида и границей области, в к-рой . Если, например, в цилиндре

расстояние между и больше или равно и dдостаточно мало, то в выполняется неравенство [5]:

В частности, если в (рис. б).и компакты вложены в Q, причем

то

Пример функции

являющейся решением уравнения теплопроводности при любых показывает невозможность в параболич. случае двусторонних оценок.

Лит.:[1] Наrnасk A., Die Grundlagen der Theоrie des logarithmischen Potentiales und die eindeutiger Potentialfunction in der Ebene, Lpz., 1887; [2] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] Серрин Д ж., "Математика", 1958, т. 2, № 6, с. 49-62; [4] Моsеr J., "Communs Pure and Appl. Math.", 1961, v. 14, № 3, p. 577-91; [5] его же, там же, 1964, v. 17, N,1, p. 101-34; [6] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [7] Л андис Е. М., Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов, М., 1971. Л. И. Камынин, Л, П. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985