Математическая энциклопедия - гармоническое колебание

синусоидальное колебание,периодическое изменение во времени физич. величины, записываемое аналитически в виде

где значение колеблющейся величины в момент времени амплитуда, циклическая (круговая) частота, начальная фаза колебаний. Продолжительность одного полного колебания, равная наз. периодом Г. к., а величина , равная числу полных колебаний в единицу времени, наз. частотой Г. к. (). Период Г. к. не зависит от амплитуды. Скорость, ускорение и все высшие производные гармонически колеблющейся величины изменяются гармонически с той же частотой. На фазовой плоскости Г. к. изображается эллипсом. В природе из-за диссипации энергии абсолютно точные Г. к. не встречаются. Однако существует много важных процессов, близких к Г. к. Таковы малые колебания механич. систем относительно их устойчивого положения равновесия. Получающиеся при этом частоты (так наз. собственные частоты) колебаний не зависят от начальных условий движения, а определяются лишь самой колеблющейся системой как таковой. Напр., малые колебания (под действием силы тяжести) математич. маятника на нити длины lописываются дифференциальным уравнением

где ускорение силы тяжести, а угол между вертикалью и нитью маятника. Общее решение этого уравнения имеет вид где (собственная) частота колебаний зависит только от gи l, а амплитуда Аи фаза являются постоянными интегрирования, выбираемыми на основе начальных условий.

Г. к. играют большую роль в изучении общих колебаний, так как сложные периодически и почти периодически меняющиеся величины могут быть с любой степенью точности представлены суммой различных Г. к. Математически это соответствует приближению функций тригонометрич. рядами и Фурье интегралами.

Классический ряд Фурье

комплекснозначной функции , определенной на может рассматриваться как разложение на сумму Г. к. с целочисленными частотами Коэффициент Фурье

определяет амплитуду и сдвиг фазы Г. к. частоты п. Совокупность всех коэффициентов Фурье определяет спектр и показывает, какие Г. к. действительно входят в и каковы амплитуды и начальные фазы этих колебаний. Знание спектра заменяет знание функции .

Функцию определенную на уже нельзя построить из Г. к. с целочисленными частотами. Для ее построения нужны колебания всех частот: функция представляется в виде интеграла Фурье

спектральная плотность функции .

Эти представления функций являются основой Фурье методов решения различных задач в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Лит.:[1] Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959. Л. П. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985