Математическая энциклопедия - гармонической меры принцип

при отображениях, осуществляемых однозначными аналитич. функциями, гармоническая мера не убывает. Если

гармонич. мера граничного множества относительно области Dна плоскости комплексного переменного z, то одна из конкретных формулировок Г. м. п. утверждает следующее. Пусть в области

с границей , состоящей из конечного числа жордановых дуг, задана однозначная аналитич. функция , удовлетворяющая условиям: значения , попадают в область с границей состоящей из конечного числа жордановых дуг; функция непрерывно продолжается на нек-рое множество состоящее из конечного числа дуг, и значения на принадлежат множеству с границей , состоящей из конечного числа жордановых дуг. При этих условиях во всякой точке zО Dz в к-рой имеет место соотношение

(1)

где обозначает подобласть такую, что точка Если в (1) имеет место равенство в какой-либо одной точке z, то оно будет иметь место всюду в . В частности, при взаимно однозначном конформном отображении на выполняется тождество

Г. м. п. был установлен Р. Неванлипной, давшим ему Многочисленные применения (см. [1], [2]). Например, из Г. м. п. выводится двух констант теорема, из к-рой, в свою очередь, следует, что для функции , голоморфной в области , максимальное значение функции на линии уровня является выпуклой функцией параметра .

Г. м. п. обобщается для голоморфных функций нескольких комплексных переменных,.

Лит.:[1] Nevanlinna F., Nevanlinna R., "Acta Soc. sclent, fennica", 1922, n. 50, № 5, p. 1-46; [2] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941. П. М. Тамразое.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985