Математическая энциклопедия - гармоническая форма

внешняя дифференциальная форма на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению , где Лапласа оператор, соответствующий римановой метрике на М, а оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если имеет компактный носитель, то гармоничность формы равносильна равенствам Г. ф. степени рна Мобразуют векторное пространство над полем . Если рнманово многообразие Мкомпактно, то конечномерно, как ядро эллиптич. оператора . Поскольку Г. ф. замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное отображение пространства в пространство вещественных когомологий степени рмногообразия М. Из Ходжа теоремы, следует, что это отображение является изоморфизмом. В частности, гармонич. функции, то есть Г. ф. степени 0, на связном компактном многообразии постоянны.

Г. ф. на компактном римановом многообразии инвариантны относительно любой связной группы изомет-рий этого многообразия, а для симметрического пространства Мпространство совпадает с пространством р-форм, инвариантных относительно наибольшей связной группы изометрий.

Параллельная теория Г. ф. существует для эрмитовых многообразий М. Г. ф. на эрмитовом многообразии М это комплексная форма, лежащая в ядре оператора Бельтрами Лапласа . Г. ф. типа составляют пространство над . Если Мкомпактно, то конечномерно и естественно изоморфно пространству когомологий Дольбо. В случае, когда Мкэлерово многообразие, эти два понятия Г. ф. фактически совпадают, поскольку В этом случае

и

Пусть кэлерова форма на М, L - оператор внешнего умножения на сопряженный к Lоператор, (М) - пространство примитивных гармонических форм типа , т. е. форм , для которых . Для справедливо равенство

Для компактного кэлерова многообразия пространство совпадает с пространством голоморфных форм степени р. В частности,

Изучение гармонич. функций и форм на римановых поверхностях восходит к Б. Риману (В. Riemann), сформулированные к-рым теоремы существования были полностью обоснованы к началу 20 в. Теория Г. ф. на компактных римановых многообразиях была впервые изложена У. Хеджем (см. [1]).