Математическая энциклопедия - интеграл дифференциального уравнения

решение дифференциального уравнения. И. д. у. наз. преимущественно соотношение вида Ф( х, у)=0, определяющее решение уобыкновенного дифференциального равнения

как неявную функцию независимой переменной х. В этом случае говорят также о частном интеграле в противоположность общему интеграл у уравнения (1), т. е. соотношению

из к-рого при соответствующем выборе постоянных C1, ... , С п получается любая интегральная кривая уравнения (1), проходящая в рассматриваемой области Gплоскости ( х, у). Если из соотношения (2) и из n соотношений, получающихся из него последовательным дифференцированием по х(причем урассматривается как функция х), исключить произвольные постоянные С 1, .. ., С п, то в результате приходят к уравнению (1). Возникающее в процессе интегрирования уравнения (1) соотношение вида

содержащее производные до k-ro порядка, и п-кпроизвольных постоянных, иногда наз. промежуточным интегралом уравнения (1). Знание промежуточного интеграла (3) сводит решение уравнения (1) порядка пк решению уравнения (3) порядка к. Если соотношение (3) содержит лишь одну произвольную постоянную, т. е. k=п-1, то оно наз. первым интегралом уравнения (1). Это уравнение имеет ровно пнезависимых первых интегралов; знание птаких интегралов позволяет получить общее решение уравнения (1) путем исключения из них величин у',. .., y^(n-1).

Если рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

то под ее общим интегралом имеют в виду совокупность соотношений

где Ciпроизвольные постоянные, в неявном виде описывающую все решения системы (4) в нек-рой области Gпространства (t, x1,..., х п). Каждое из соотношений (5) в отдельности наз. первым интегралом системы (4). Чаще под первым интегралом системы (4) понимают функцию u(t, x1,..., х п), обладающую тем свойством, что она принимает постоянное значение вдоль любого решения системы (4) в области G. Система (4) имеет ровно пнезависимых первых интегралов, знание к-рых дает возможность найти общее решение без интегрирования системы; знание кнезависимых первых интегралов позволяет свести решение системы (4) порядка пк решению системы порядка п-к. Гладкая функция u(t, x1, ..., х п )является первым интегралом системы (4) с гладкой правой частью тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

Аналогичная терминология иногда употребляется в теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка. Так, под И. д. у.

или под его частным интегралом, понимают решение этого уравнения ( интегральную поверхность). Полным интегралом уравнения (6) наз. семейство решений Ф( х, у, z, а, b)=0, зависящее от двух произвольных постоянных. Общий интеграл уравнения (6) соотношение, содержащее одну произвольную функцию и при каждом выборе этой функции дающее решение уравнения.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Н. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985