Математическая энциклопедия - интегральное многообразие

множество St точек фазового пространства (t, x -пространства) системы

заполненное интегральными кривыми этой системы, определенными для всех и являющееся многообразием в, t, x -пространстве. Размерность сечения St плоскостью t=const наз. обычно размерностью И. м. Sf. При определении И. м. требование быть многообразием заменяют иногда требованием аналитической представимости множества St уравнением x=f(t, С )с функцией f, определенной для всех tиз R и С= (С 1,. . ., С т )из нек-рой области Dи обладающей определенной гладкостью по t, С при t,И. м. наз. тогда m-мерным и той гладкости, какова гладкость функции f.

Примеры: интегральная кривая периодич. решения системы (*), т. е. периодическая интегральная кривая; семейство интегральных кривых системы (*), образованное семейством квазипериодич. решений системы (*), заполняющих при t=0 m -мерный тор x-пространства-m-мерное тороидальное интегральное многообразие, и т. д.

Наиболее изученными И. м. являются тороидальные многообразия, т. е. множества St, являющиеся торами при любом фиксированном Эти многообразия широко встречаются в системах вида (*), описывающих колебательные процессы.

Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., О некоторых статистических методах в математической физике, Львов, 1945; [2] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., в кн.: Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям, т. 1, К., 1963, с. 93-154; [3] их же, в кн.: Тр. 4 Всесоюзнсго математического съезда, т. 2, Л., 1964, с. 432-37; [4] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике, К., 1969; [5J Митропольский Ю. А., Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний, М., 1964; [6] Митропольский Ю. А., Лыковa Q. Б., Интегральные многообразия в нелинейной механике, М., 1973.

А. М. Самопленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985