Математическая энциклопедия - интегральное преобразование

функциональное преобразование вида

где Сконечный или бесконечный контур в комплексной плоскости, К( х, t)ядро И. п. Наиболее часто рассматриваются И. п., для которых K(x,t)=K(xt )и Сдействительная ось или ее часть ( а, b). Если то И. п. наз. конечным

И. п. Формулы, позволяющие восстановить функцию f(t)по известной F(x), наз. формулами обращения И. п.

Примеры И. п. Преобразование Бохнера:

где Jv (х)функция Бесселя 1-го рода порядка v, р расстояние в Rⁿ. Формула обращения: f= T²f. Равенство Парсеваля:

Преобразование Вебера:

где Yv(x).функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Формула обращения:

При а->0 преобразование Вебера переходит в преобразование Ганкеля:

При v==±¹/2 это преобразование сводится к синуси косинус-преобразованиям Фурье. Формула обращения: если f(t)имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t0>0 и то

Равенство Парсеваля: если F(x)п G(x)преобразования Ганкеля функций f(t)и g{t), причем f, то

Другие формы преобразования Ганнеля:

Преобразование Вейерштрасса:

является частным случаем свертки преобразования. Цепные преобразования. Пусть

причем fn+1(x)=f1(x). Такая последовательность И. п. наз. цепочкой И. п. При n=2 цепные И. п. часто наз. преобразованиями Фурье.

Кратные (многомерные) И. п.преобразования вида (1), где t, Снекоторая область n-мерного комплексного евклидова пространства.

И. п. обобщенных функций могут быть построены следующими основными способами:

1) Строится пространство основных функций U, содержащее ядро К( х, t )рассматриваемого И. п. Т. Преобразование Tf для любой обобщенной функции определяется как значение функционала f на основной функции К( х, t). формулой

2) Строится пространство основных функций U, на к-ром определено классическое И. п. Т, отображающее Uна нек-рое пространство основных функций V. И. п. T'f обобщенной функции вводится равенством

3) Рассматриваемое И. п. выражается через другое И. п., к-рое определено для обобщенных функций.

См. также ст. Ватсона преобразование, Гаусса преобразование, Гегенбауэра преобразование, Конторовича Лебедева преобразование, Мейера преобразование, Мелера Фока преобразование, Меллина преобразование. Свертки преобразование, Стилтьеса преобразование, Уиттекера преобразование, Фурье преобразование, Харди преобразование, Эйлера преобразование, Эрмита преобразование, Якоби преобразование.

Лит.:[1] Диткин В. А., Прудников А. П., в сб.: "Итоги науки. Математический анализ. 1966", М., 1967, с. 7-82; [2] Брычков Ю. А., Прудников А. П., Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977; [3] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985