Математическая энциклопедия - интегральное уравнение с симметричным ядром

интегральное уравнение (и. у.) с симметричным действительным ядром: К( х, s) = K(s, x).

Теория линейных и. у. с симметричным и действительным ядром была впервые построена Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1904) привлечением теории симметричных квадратичных форм с помощью перехода от конечного числа переменных к бесконечному. Затем Э. Шмидт (Е. Schmidt, 1907) предложил более элементарный метод обоснования результатов Д. Гильберта. Поэтому теорию И. у. с с. я. часто наз. также теорией ГильбертаШмидта. Значительное ослабление ограничений, налагаемых в этой теории на заданные и искомые элементы уравнения, было достигнуто Т. Карлеманом (Т. Carleman) (см. ниже).

Пусть имеется и. у. 2-го рода с действительным симметричным ядром:

При построении теории И. у. с с. я. достаточно предполагать, что симметричное ядро Кизмеримо на квадрате [а, b]X[ а, b]

а свободный член f и искомая функция j интегрируемые с квадратом функции на отрезке [ а, b](интегралы понимаются в смысле Лебега).

Разработка теории И. у. с с. я. начинается с изучения ряда общих свойств собственных чисел и собственных функций однородного симметричного и. у.:

А именно, доказывается, что: уравнение (3) обладает по крайней мере одним собственным числом (когда Кпочти всюду не равно нулю); собственные функции, принадлежащие различным собственным числам,ортогональны; собственные числа действительны; ввиду действительности ядра без ограничения общности можно предполагать, что собственные функции действительны; на любом конечном сегменте значений параметра Xможет находиться лишь конечное множество собственных чисел.

Множество всех собственных чисел уравнения (3) наз. спектром этого уравнения. Спектр непустое конечное или счетное множество чисел {m1, m2, ..., ..., mn,...}; каждому числу mn спектра соответствует конечное множество линейно независимых собственных функций. Собственные числа и собственные функции можно расположить в виде последовательностей:

так, что абсолютные величины собственных чисел не убывают каждое собственное число повторяется столько раз, сколько собственных функций ему соответствует. Поэтому каждому числу mk в (4) соответствует лишь одна собственная функция. Можнс считать, что система функций {jk} ортонормирована. Последовательности (4) наз. системой собственных чисел и собственных функций симметричного ядра Кили уравнения (3). Нахождение этой системы равносильно полному решению однородного симметричного и. у. (3).

Ряд Фурье ядра К( х, s), рассматриваемого как функция от sотносительно ортонормированной системы (jk(s)}, будет

Так составленный ряд из системы собственных чисел и собственных функций симметричного ядра Кназ. билинейным рядом ядра Кили билинейным разложением ядра Кпо его собственным функциям. Этот ряд сходится в среднем к ядру К, т. е.

Если же билинейный ряд (5) сходится равномерно, то

В частности, это последнее равенство всегда имеет место, если ядро обладает лишь конечным множеством собственных чисел. В этом случае ядро Кявляется вырожденным. Имеет место и обратное утверждение: вырожденное симметричное ядро имеет конечное множество собственных чисел (и, следовательно, конечное множество собственных функций). Билинейный ряд непрерывного на квадрате ядра Кс положительными собственными числами сходится равномерно.

Зная систему (4) собственных чисел и собственных функций, можно построить решение неоднородного уравнения (1). Имеют место следующие теоремы.

Если X не является собственным числом ядра К, то симметричное п. у. (1) имеет единственное решение Ф, выражаемое формулой

где lkсобственные числа, fk коэффициенты Фурье функции f относительно ортонормированной системы {jm} собственных функций ядра, т. е.

Пусть l=l1собственное число ядра К;тогда симметричное и. у. (1) разрешимо лишь в случае, если удовлетворяются условия

где j1;..., jq собственные функции, принадлежащие собственному числу l1. При соблюдении этих условий все решения уравнения (1) выражаются формулой

где c1, ..., cqпроизвольные постоянные.

Если ядро Кимеет бесконечное множество собственных чисел и, следовательно, в правых частях формул (6), (7) стоят бесконечные ряды, то они сходятся в среднем. Если от ядра Кдополнительно потребовать, что оно удовлетворяет условию

то упомянутые ряды будут сходиться абсолютно и равномерно.

Формулы (6) и (7) наз. формулами Шмидта. Большая часть теории И. у. с с. я. легко распространяется и на комплекснозначные функции. В этом случае аналогом действительного симметричного ядра является эрмитово ядро:

Если известна система (4) собственных чисел и собственных функций симметричного ядра К, то можно легко исследовать симметричное уравнение Фредгольма 1-го рода