Математическая энциклопедия - интегральный оператор

отображение когда закон соответствия Азадается с помощью интеграла. И. о. наз. иногда интегральным преобразованием. Так, напр., для интегрального оператора Урысона (см. Урысона уравнение): закон соответствия Аопределяется интегралом (или оператор порождается интегралом)

причем Dзаданное измеримое множество конечной меры Лебега в конечномерном пространстве; P(t,t, и), t,заданная измеримая функция.

Предполагается, что функции Ри j удовлетворяют условиям, обеспечивающим существование интеграла в (1) в смысле Лебега. Если функция P(t,t, u) нелинейна относительно и, то (1) является примером нелинейного И. о. Если же P(t, т, u)=K(t, т) и, тогда (1) принимает вид

Оператор, порождаемый интегралом (2), или просто оператор (2), наз. линейным И. о., а функция Кядром И. о.

Ядро Кназ. ядром Фредгольма, если оператор (2), соответствующий ядру К, действует вполне непрерывно из заданного функционального пространства Ев нек-рое другое функциональное пространство Е 1. В этом случае сам оператор (2) наз. интегральным оператором Фредгольма из Ев Е 1.

Линейные И. о. часто рассматриваются в функциональных пространствах: С(D)непрерывных на ограниченном замкнутом множество Dфункций и Lp(D)суммируемых на Dсо степенью рфункций. В этом случае оператор (2)-оператор Фредгольма в С(D)(т. е. из C(D)в C(D)), если Кнепрерывно на DD(такое ядро наз. непрерывны м). Он является оператором Фродгольма в L2(D)(из L2(D)в L2(D)), если ядро Кизмеримо на DD и

Такое ядро наз. L2 -я дром.

Сопряженный оператор к оператору (2) в комплексном функциональном пространстве L2(D)с ядром, удовлетворяющим условию (3), есть И. о.

где черта означает переход к комплексно сопряженному значению. Если ядро Кэрмитово (симметрично) (то есть =K(t, т)), то соответствующий оператор

Фредгольма (2) совпадает со своим сопряженным (4). Операторы, обладающие этим свойством, наз. самосопряженными. Оператор Фредгольма с симметричным ядром наз. интегральным оператором Гильберта Шмидта.

Пусть |t-t| обозначает расстояние между точками tи t n-мерного евклидова пространства, В(t,t) ограниченная измеримая функция на DD, тогда ядро вида

наз. ядром типа потенциала, а И. о. (2) с таким ядром И. о. типа потенциала; ядро (5) наз. также полярным ядром, или ядром со слабой особенностью, а соответствующий оператор (2) И. о. со слабой особенностью.

Если функция B(t, т) непрерывна на DD, то И. о. со слабой особенностью вполне непрерывен в пространстве C(D), а если B(t,t) измеримая ограниченная функция на DD, то он вполне непрерывен в пространстве L2(D).

Если ядро Ки го-мерное множество Dтаковы, что интеграл (2) не существует в смысле Лебега, но существует в смысле главного значения по Коши, то он наз. го-м ерным сингулярным интегралом. Оператор, к-рый им порождается, наз. m-мерным сингулярным И. о., или одномерным (при т=1 )и многомерным (при m>1) сингулярным И. о.

Если линия Dлежит на плоскости комплексного переменного t, то равенство

где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, порождает непрерывный И. о.в пространстве функций, удовлетворяющих усшовию Гёльдера, если Dпростая замкнутая гладкая линия; и в пространстве Lp(D),если Dляпуновская линия. Оператор (6) наз. сингулярным оператором Коши.

Пусть на действительной оси заданы две измеримые по Лебегу функции j и g. Если для почти всех существует интеграл

то можно определить функцию

которая наз. сверткой g и j. Если зафиксировать функцию g, то интеграл (7) определяет оператор

который наз. И. о. (или интегральным преобразованием) свертки с ядром g. Если

то оператор (8) непрерывен из

При соответствующих предположениях И. о. свертки применяется как на полупрямой, так и на конечном отрезке.

Кроме указанных выше И.