Математическая энциклопедия - конечно порожденная группа

группа G, обладающая конечным порождающим множеством М= {а 1,.... ad}. Состоит из всевозможных произведений где Если Мсодержит dэлементов, то Gназ. d-n орожденной. Из любого порождающего множества К. п. г. можно выбрать конечное порождающее множество. 1-порожденные группы наз. циклическими (они исчерпываются с точностью до изоморфизма группой Z целых чисел относительно сложения и группами Z п классов вычетов по данному модулю потносительно сложения, n=1, 2, . . .).

Множество всех неизоморфных 2-порожденных групп имеет мощность континуума. Всякая счетная группа изоморфно вкладывается в нек-рую 2-порожденную группу; можно считать при этом, что последняя проста, а ее порождающие элементы имеют порядки 2 и 3. Всякая счетная п-ступенно разрешимая группа изоморфно вкладывается в 2-порожденную (n+2)-ступенно разрешимую группу. Подгруппа конечного индекса в К. п. г. сама является К. п. г. Во всякой К. п. г. имеется лишь конечное число подгрупп данного конечного индекса. К. п. г. может быть бесконечной периодической; более того, для всякого натурального числа и всякого нечетного числа существует бесконечная d-порожденная группа периода п(см. Бёрнсайда проблема). К. п. г. может быть нехопфовой, т. е. изоморфной своей истинной факторгруппе; более того, существуют разрешимые нехопфовы К. п. г. Если К. п. г. финитно аппроксимируема (см. Финитно аппроксимируемая группа), то она хопфова. Всякая К. п. г. матриц над полем финитно аппроксимируема. Существуют бесконечные К. п. г., и даже конечно определенные группы, являющиеся простыми.

Лит.: [1] Каргаполов М. И..Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 2 изд., М., 1977.

Ю. И. Мерзляков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985