Математическая энциклопедия - конструктивный объект

название, установившееся за математич. объектами, возникающими в результате развертывания так называемых конструктивных процессов. При описании того или иного конкретного конструктивного процесса обычно "...предполагается, что отчетливо охарактеризованы объекты, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве нерасчленяемых на части исходных объектов; предполагается, что задан список тех правил образования новых объектов из ранее построенных, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве описаний допустимых шагов конструктивных процессов; предполагается, что процессы построения осуществляются отдельными шагами, причем выбор каждого очередного шага произволен в тех границах, которые определяются спискрм ранее построенных объектов и совокупностью тех правил образования, которые фактически можно применить к ранее построенным объектам" (см. [3], с. 16). Такое описание конструктивного процесса, а тем самым и К. о., разумеется, не может претендовать на то, чтобы быть точным математич. определением. Однако конкретные математич. теории всегда имеют дело лишь с такими конкретными типами К. о., к-рые допускают точную характеризацию. Приведенное выше описание К. о. служит в таких ситуациях ориентиром для выбора соответствующих точных определений.

Примером точно определенного типа К. о. могут служить слова в к.-л. фиксированном алфавите (буквы этого алфавита играют роль исходных объектов; новые слова получаются из уже имеющихся путем приписывания к последним справа букв рассматриваемого алфавита). Другими примерами типов К. о. могут служить конечные графы, конечные абстрактные топологические комплексы, релейно-контактные схемы (выбор соответствующих исходных объектов и правил образования не представляет труда). Как К. о. могут быть также определены рациональные числа, алгебраические многочлены, алгоритмы и исчисления различных точно определенных типов, автоматы конечные, конечно определенные группы и другие им подобные математпч. объекты.

К. о. играют важную роль в тех математич. теориях, в к-рых возникает потребность в рассмотрении объектов, допускающих отчетливое индивидуальное задание средствами той или иной математпч. символики. В рамках теоретико-множественной математики, неограниченно использующей абстракцию актуальной бесконечности, К. о. и произвольные множества К. о. рассматриваются одновременно и наравне с прочими математич. объектами, среди к-рых К. о. выделяются лишь своей большей "осязаемостью". В рамках конструктивной математики К. о. (или объекты, задаваемые ими) представляют собой единственно допускаемый к рассмотрению тип математич. объектов, и рассмотрение их здесь ведется на базе отказа от применения абстракции актуальной бесконечности и на основе специальной конструктивной логики, учитывающей, в частности, специфику определения К. о. См. также Конструктивная математика.

Лит.:[1] Марков А. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1962, т. 67, с. 8-14; [2] его же, О логике конструктивной математики, М., 1972; [3] Шанин Н. А., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1962, т. 67, с. 15 294.

Н. М. Нагорный.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985