Математическая энциклопедия - квазиинвариантная мера

мера на некотором пространстве, остающаяся эквивалентной себе при "сдвигах" этого пространства. Более точно: пусть (X, В)измеримое пространство (т. е. множество Xс выделенной s-алгеброй Вего подмножеств) и Gнекоторая группа его автоморфизмов (т. е. взаимно однозначных преобразований g: измеримых вместе со своими обратными g^-1 относительно s-алгебры В). Мера m на (X, В )наз. квази инвариантной (относительно G), если при любом преобразованная мера gm(A)=m(g^-1A),эквивалентна мере m (т. е. эти меры взаимно абсолютно непрерывны). В случае, когда Xтопологическое однородное пространство с непрерывной локально компактной группой автоморфизмов G(т. е. группа Gдействует на Xтранзитивно и снабжена такой топологией, что отображение GXХ : непрерывно относительно произведения топологий в GX), а. Вборелевская s-алгебра относительно введенной в Xтопологии, существует единственная с точностью до эквивалентности К. м. [1]. В частности, мера в пространстве Rⁿ квазиинвариантна относительно всех сдвигов в том и только том случае, когда она эквивалентна Лебега мере. В случае, когда группа преобразований не локально компактна, К. м. может не существовать: это имеет место, напр., у широкого класса бесконечномерных топологич. векторных пространств [2].

Лит.:[1] Бурбаки Н., Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, пер. с франц., М., 1970; [2] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961.

Р. А. Минлос.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985