Математическая энциклопедия - мартина граница

в теории потенциала идеальная граница Грина пространстваW (см. также Кольцевая граница), позволяющая построить характеристич. представление положительных гар-монич. функций на W. Пусть W локально компактное, но не компактное топологич. пространство, Ф семейство непрерывных функций Теорема Констант инеску Корня [2] утверждает, что существует единственное с точностью до гомеоморфизма компактное пространство со следующими свойствами: 1) W есть подпространство всюду плотное в 2) каждая функция __ непрерывно продолжается на до функции разделяющей точки идеальной границы пространства W относительно семейства Ф; 3) W есть открытое множество в

Пусть теперь W - ограниченная область евклидова пространства или, вообще, пространство Грина; G=G(x, у) Грина функцияW с полюсом точка фиксирована. Пространство Мартина, или к о м п а к т и ф и к а ц и я Мартина, области Wполучается по теореме Константи-неску Корня в том случае, если в качестве семейства Ф принимается

причем, по определению, К(х 0, y0)=l. M. г.это соответствующая идеальная граница

Топология Мартина Г это топология пространства Мартина Пространства Мартина соответствующие выбору различных точек гомеоморфны между собой. Функция являющаяся продолжением К( х, у),- гармоническая по уи непрерывная по совокупности переменных (x, у); - метризуемое пространство. Основная теорема Мартина [1] утверждает: класс всех положительных гармонич. функций на W. характеризуется представлением Мартина:

где m нек-рая положительная мера Радона на В представлении (*) мера m, определяется по, функции и. неоднозначно. Гармонич. функция наз. минимальной в W, если каждая гармонич. функция wтакая, что в W, пропорциональна v. Минимальные гармонич. функции пропорциональны соответствующие точки наз. минимальными, множество всех минимальных точек наз. минимальной границей Мартина. Подчиняя меру m в (*) дополнительному условию, чтобы она была сосредоточена на получают к а н о-ническое представление Мартина:

в к-ром мера определяется по иоднозначно.

Примеры. 1) Если шар радиуса Rв пространстве то

есть ядро Пуассона, совпадаете евклидовым замыканием, М. г. есть сфера все точки к-рой минимальные. Представление (*) в этом случае сводится к формуле Пуассона Герглотца (см. Интегральное представление аналитической функции, Пуассона интеграл).

2).М. г. совпадает с евклидовой границей всякий раз, когда Г есть достаточно гладкая гиперповерхность в

3) Если W односвязная плоская область, то М. г. D совпадает с множеством граничных элементов, или простых концов по Каратеодори. Таким образом, элементы М. г. можно рассматривать как обобщение понятия простых концов для размерностей

Лит.:[1] М а r t i n R. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1941, v. 49, p. 137-72; [2] Constantinescu C., Cornea A., Ideale Rander Riemannscher Flachen, B. [u. a.], 1963; [3] Б р e л о М., О топологиях и границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985