Математическая энциклопедия - маркова цепь эргодическая

однородная по времени цепь Маркова x(t), обладающая следующим свойством: существуют (не зависящие от i) величины

где

переходные вероятности. Распределение {р j} на множестве состояний цепи x(t) наз. стационарным распределением: если при всех j, то при всех и j. Вместе с основным свойством цепи Маркова

это позволяет находить {р j},не вычисляя пределов в (1).

Пусть момент первого возвращения в состояние j (для цепи Маркова с дискретным временем), тогда

аналогичное (более сложное) соотношение имеет место для цепи Маркова с непрерывным временем.

Траектории М. ц. э. удовлетворяют эргодич. теореме: если f(Х) функция на множестве состояний цепи x(t)> ^т° ^в случае дискретного времени

в случае непрерывного времени первая сумма в левой части заменяется интегралом.

Цепь Маркова, для к-рой существуют такие и что при всех i, j, t

наз. геометрически эргод и ческой. Достаточным условием для геометрич. эргодичности М. ц. э. является условие Дёблина (см., напр., [1]), к-рое в рассматриваемом здесь случае дискретных (конечных или счетных) цепей Маркова может быть сформулировано так: существуют такие и состояние j, что Если выполнено условие Дёблина, то для констант в (2) справедливо соотношение

Необходимым и достаточным условием геометрич. эргодичности счетной цепи Маркова с дискретным временем является следующее (см. [3]): существуют такие числа f(j), q<1 и конечное множество Всостояний цепи, что

Лит.:[1] Дуб Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 195В; [2] Ч ж у н К а й л а й, Однородные цепи Маркова, пер. с англ., М., 1964; [3] П о п о в Н. Н.,"Докл. АН СССР", 1977, т. 234, № 2, с. 316 19. А. М. Зубков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985