Математическая энциклопедия - мартингал

стохастическая последовательность заданная на вероятностном пространстве с выделенным на нем неубывающим семейством s-алгебр такая, что Xt являются Ft -измеримыми и

(с вероятностью 1, или почти наверное). В случае дискретного времени T={1, 2, ...}, в случае непрерывного времени Родственными понятиями являются стохастич. последовательности, образующие субмартингал, для к-рых

Пример 1. Если последовательность независимых случайных величин с то X = ( Х n, Fn).с является М.,

Пример 2. Пусть Y=(Yn, Fn) - М. (субмартингал), V=(Vn, Fn) нек-рая предсказуемая последовательность (т. е. Vn являются не только Fn -измеримыми, но и Fn-1 -измеримыми, и

Тогда если величины (VY)Fn интегрируемы, то стоха-стич. последовательность ((VY)n-1, Fn )образует М. (субмартингал). В частности, если последовательность независимых случайных величин, соответствующих схеме Бернулли

и

то((VY)n, Fn).образует М. Эта стохастич. последовательность служит математич. моделью игры, в к-рой игрок выигрывает единицу капитала, если xk=+1, и проигрывает единицу, если xk=-1, a Vk - величина его ставки в k-й партии. Игровой смысл функции Vk, определяемой равенством (2), состоит в том, что игрок увеличивает ставку вдвое при проигрыше п прекращает игру при первом выигрыше. Такая система игры в игровой практике носит название М., что н послужило причиной возникновения математич. термина "мартингал".

Один из основных фактов теории М. состоит в том, что структура М. (субмартингалов) Х=(Xt, Ft).сохраняется при случайной замене времени. Точная формулировка этого факта (называемого теоремой о преобразовании свободного выбора) состоит в следующем: если t1 и t2 два конечных марковских момента, и

то (с вероятностью 1, или почти наверное), где

В качестве частного случая отсюда следует Вальда тождество:

К числу основных результатов теории М. относятся неравенства Дуба: если Х=( Х n, Fn) - неотрицательный субмартингал,

то

Если Х=Х=( Х n, Fn) - М., то для случая p>1 справедливы неравенства Буркхольдера (обобщающие неравенства Хинчина и Марцинкевича Зигмунда для сумм независимых случайных величин):

где А р и В р - нек-рые универсальные константы (не зависящие от Xи от п). в качестве к-рых можно взять

и

С учетом (5) из (7) следует, что (р>1)

где

На случай р=1 обобщаются неравенства (8). Именно, имеют место неравенства Дэвиса: существуют такие универсальные постоянные Аи В, что

Для доказательства разного рода теорем о сходимости субмартпнгалов с вероятностью единица ключевую роль играет неравенство Дуба для математического ожидания числа пересечений bn(a, b).субмартингалов Х=( Х п, Fn).интервала [ а, b]снизу вверх за пшагов

Основной результат о сходимости субмартингалов содержится в теореме Дуба: если Х=( Х п, Fn) - субмартингал и sup то с вероятностью единица существует Если

субмартингал Xравномерно интегрируемый, то помимо сходимости с вероятностью единица имеет место и сходимость в смысле L1 т. е.