Математическая энциклопедия - однолистная функция

функция f, регулярная или мероморфная в области Врасширенной комплексной плоскости п такая, что для всяких zl , выполняется соотношение то есть f отображает В в взаимно однозначно. При этом обратная функция также однолистна.

Обобщением О. ф. являются многолистные функции, в частности р-листные функции.

При изучении О. ф. одним из основных является вопрос о возможности однолистного отображения заданной области В на заданную область В' (т. е. отображения с помощью О. ф.). Необходимым условием существования такого отображения является равенство порядков связности областей Ви В' (см., напр., [1] с. 28). Если Ви В' односвязные области, границы к-рых содержат более одной точки, то это условие является и достаточным (см. Римана теорема )и задача сводится к отображению заданной области на круг. В связи с этим особую роль в теории О. ф. в односвязных областях играет класс S функций f, регулярных и однолистных в круге , нормированных условиями f(0) = 0, f' (0)=1 и имеющих разложение

В случае многосвязных областей изучают отображение заданной многосвязной области на т. н. канонич. области (см. Конформное отображение). Пусть класс функций F, мероморфных и однолистных в области В, содержащей точку , и имеющих в окрестности точки разложение

Если

то этот класс обозначают .

Основные задачи теории О. ф. следующие: 1) изучение соответствия границ при конформном отображении (см. Соответствия границ принцип, Граничные элементы. Достижимая граничная точка);2) получение однолистности условий;3) решение различных экстремальных задач теории функций, в частности получение оценок различных функционалов и областей значений функционалов (см. ниже) и их систем в том или другом классе.

Пусть имеется нек-рый класс (множество) Крегулярных или мероморфных функций и пусть на Кзадан комплексный функционал (или система функционалов . Областью значений функционала (или системы функционалов на классе Кназ. множество Dточек комплексного пространства (соответственно множество точек n-мерного комплексного пространства ) таких, что . Рассматриваются также действительные функционалы. Всякое множество , содержащее D, наз. мажорантной областью функционала (или системы функционалов). Знание области значений функционала позволяет свести решение ряда экстремальных задач к более простым задачам анализа. Напр., если известна область Dзначений функционала

(z0 фиксировано), то задача оценки сверху и снизу сводится к нахождению самой далекой и самой близкой точек из Dпо отношению к точке w=0.

Первые существенные результаты в теории О. ф. получены использованием площадей принципа. С помощью внешней теоремы площадей Л. Бибербах (L. Bieberbach, 1916) получил точные оценки и сверху и снизу для (см. Искажения теоремы), дал оценку для и высказал гипотезу, что для (см. Бибербаха гипотеза, Коэффици ентов проблема). Им же было найдено точное значение постоянной Кёбе. Были также получены оценки модуля функции, модуля ее производной и другие оценки в классах выпуклых функций, звездообразных функций, типично вещественных функций и др. В ряде классов были найдены выпуклости радиус и радиус звездообразности (см. Звездообразности граница).

Ниже приведены основные методы теории О. ф. и нек-рые результаты, полученные с их помощью.

1. Метод интегральных представлений дает возможность достаточно просто решать многие задачи теории функций, в частности экстремальные задачи в классах функций, имеющих представление с помощью интегралов Стилтьеса: выпуклых функций, почти выпуклых функций, звездообразных функций, типично вещественных функций, функций с положительной действительной частью (см. Каратеодори класс). Для классов функций, представимых посредством интеграла Стилтьеса, был разработан нек-рый вариационный метод (см. [1] с. 504-19), с помощью к-рого решен ряд экстремальных задач. Для таких классов разработан внутренних вариаций метод.

Найдены выпуклые оболочки нек-рых подклассов класса S(см. [3]). Здесь, в частности, доказано, что для всякой звездообразной функции f существует неубывающая на [0,2p] функция m такая, что и

См. также Интегральное представление аналитической функции, Параметрическое представление, Параметрических представлений метод.

2. Метод контурного интегрирования. С помощью этого метода было, в частности, доказано, что для справедливо неравенство (см. [1]. с. 135-39)

где и полные эллиптические интегралы. Если zфиксировано , то это неравенство определяет область значений функционала в классе S. Получены усиления теорем искажения и доказаны теоремы об искажении хорд в классах и (см. Искажения теоремы и [1] с. 118-35).

См. также Контурного интегрирования метод, Площадей принцип.

3. Метод площадей. Пусть класс систем функций конформно и однолистно отображающих круг на области попарно не имеющие общих точек (неналегающие области), и нормированных условиями . С помощью теоремы площадей в классе в частности, получены следующие результаты: 1) если

то

это неравенство обобщает на случай комплексных известное ранее неравенство для действительных ; 2) если то

Для Бибербаха Эйленберга функций

отсюда следует неравенство

выяснены условия, при выполнении к-рых в (4) и (4') имеет место знак равенства.

С помощью теоремы площадей для неналегающих областей получена оценка приближения функции, регулярной на замкнутой многосвязной области, рациональной функцией, интерполирующей заданную функцию в узлах, равнорасположенных на границе области (см. [4] с. 143-54). Получена область значений шварциана

для и ряд других областей значений в классах функций, заданных в многосвязных областях (см. [4], [5]).

4. Метод Лёвнера. Сам К. Лёвнер (К. Lowner, 1923) получил точную оценку для функций и точные оценки коэффициентов разложения функции, обратной к f , в окрестности точки . В частности, этим методом получена точная форма теоремы вращения в классе S(см. Вращения теоремы). Доказана теорема: для при заданных и справедливо неравенство

где определяется условием

Неравенство (5) точное. Из (5) следуют точные неравенства в классе

Был введен весьма широкий подкласс функций , представимых в виде

где gзвездообразная функция, ррегулярная в функция и такая, что для нек-рого

(см.[6] с. 47).

С помощью теорем искажения было установлено, что функция Кёбе

(действительное) реализует максимум линейной меры покрытия окружности образом круга при отображении функциями класса S, когда . Из этого свойства функций класса S следуют оценки площади области , оценки среднего модуля функции и другие оценки в классе S, асимптотически точные при (см. [1] с. 561).

Была предложена нек-рая удобная редукция экстремальных задач на классе Sи нек-рых его подклассах к определенным экстремальным задачам на более простом классе (см. Каратеодори класс), оказавшаяся применимой к решению ряда экстремальных задач, в частности к нахождению области значений системы функционалов (здесь фиксировано) для (см. [6] с. 115-58).

Метод Лёвнера успешно применялся к исследованию свойств линий уровня и к решению экстремальных задач на подклассе ограниченных функций (см. [6] с. 150-77).

См. также Лёвнера уравнение, Лёвнера метод, Параметрических представлений метод.

5. Вариационные методы. Граничные и внутренние вариации при решении экстремальных задач приводят к дифференциальным уравнениям для границ экстремальных областей и, соответственно, для экстремальных функций. Левая часть этих уравнений, как правило, есть нек-рый квадратичный дифференциал. Различные качественные характеристики функций, реализующих экстремум, получаются при исследовании свойств соответствующих квадратичных дифференциалов. В частности, для большого числа экстремальных задач в классе S(и в других классах) оказывается, что экстремальная функция отображает круг D на всю плоскость с конечным числом аналитич. разрезов. Иногда дифференциальное уравнение для экстремальной функции удается проинтегрировать и тем самым получить величину экстремума в исследуемой задаче и все экстремальные функции. Чаще удается лишь получить одно или несколько конечных уравнений для величины экстремума. Нек-рые результаты, полученные вариационным методом, перечислены ниже.