Математическая энциклопедия - однородная ограниченная область

однородное комплексное многообразие, изоморфное ограниченной области в . Примером О. о. о. является "комплексный шар"

в к-ром транзитивно действует псевдоунитарная группа SUn ,1 , представленная проективными преобразованиями пространства .

Если Dлюбая ограниченная область в , то эрмитова дифференциальная форма

где КБергмана кернфункция области D, определяет в Dкэлерову метрику, наз. метрикой Бергмана и инвариантную относительно всех автоморфизмов области D(см. [1], [2]). Группа G(D)всех автоморфизмов области Dявляется вещественной группой Ли, не содержащей нетривиальных связных комплексных подгрупп. Если Dоднородна, то метрика Бергмана полна.

Среди О. о. о. выделяются симметрич. области. Ограниченная область Dназ. симметрической, если для любой точки существует инволютивный автоморфизм области D, имеющий г изолированной неподвижной точкой. Всякая симметрич. область однородна и является эрмитовым симметрич. пространством относительно метрики Бергмана. Получена [3] классификация симметрич. областей. Имеются 4 серии неприводимых симметрич. областей, связанных с классич. простыми группами Ли, и две особые области размерностей 16 и 27. К числу классических симметрич. областей относятся, в частности, комплексный шар и верхняя полуплоскость Зигеля (см. Зигеля область). Всякая симметрич. область изоморфна прямому произведению неприводимых симметрич. областей [1].

Всякая О. о. о. размерности является симметрической [3]. Начиная с размерности 4, существуют и несимметрические О. о. о. (см. [4]). Более того, при имеется континуум n-мерных О. о. о., среди к-рых лишь конечное число симметрических. Каждая О. о. о. гомеоморфна клетке и аналитически изоморфна аффинно однородной области Зигеля, определенной однозначно с точностью до аффинного изоморфизма. Классификация О. о. о. производится алгебраич. средствами [5].

С О. о. о. связаны многомерные обобщения эйлеровых интегралов (интегралы Зигеля 1-го и 2-го рода), а также гипергеометрич. функции [6].

Лит.:[1] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 19В4; [2] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963; [3] Саrtan E., "Abh. Math. Sem. Hamb. Univ.", 1936, Bd 11, S. 116-62; [4] Пятецкий-Шапиро И. И., Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, М., 1961; [5] Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., Пятецкий-Шапиро И. И., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1963, т. 12, с. 359-88; [6] Гиндикин С. Г., "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 4, с. 3-92.

Д. Б. Винберг.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985