Математическая энциклопедия - однородное комплексное многообразие

-

комплексное многообразие М, группа автоморфизмов к-рого транзитивно действует на М. Все односвязные одномерные комплексные многообразия сфера Римана, комплексная плоскость и верхняя комплексная полуплоскость однородны. Многообразие G/H смежных классов комплексной группы Ли Gпо замкнутой комплексной подгруппе Нявляетси О. к. м.

Среди компактных О. к. м. выделяются комплексные флаговые многообразия, к числу к-рых относятся все компактные эрмитовы симметрические пространства[8]. Комплексные флаговые многообразия могут быть охарактеризованы как односвязные компактные однородные кэлеровы многообразия[4], а также как многообразия , Где Gполупростая комплексная группа Ли, Uее параболич. подгруппа. Всякое компактное О. к. м. допускает однородное коломорфное расслоение над флаговым многообразием со слоем, изоморфным многообразию смежных классов комплексной группы Ли по дискретной подгруппе (см. Титса расслоение, а также [6], [9]).

Другой важный класс О. к. м. составляют однородные ограниченные области (о. о. о.), к числу к-рых относятся, в частности, симметрич. области, двойственные компактным эрмитовым симметрич. пространствам.

Флаговые многообразия и о. о. о. представляют собой частные случаи однородных кэлеровы х многообразий (т. е. кэлеровых многообразий, на к-рых транзитнвно действует группа аналитич. автоморфизмов, сохраняющих кэлерову метрику). Существует гипотеза [2], что всякое однородное кэлерово многообразие допускает однородное голоморфное расслоение, базой к-рого служит о. о. о., а слоем прямое произведение флагового многообразия и многообразия смежных классов комплексного векторного пространства по дискретной подгруппе. Эта гипотеза доказана для однородных кэлеровых многообразий, допускающих полупростую [1] или вполне разрешимую [2] транзитивную группу автоморфизмов, а также для компактных однородных кэлеровых многообразий, которые, таким образом, изоморфны прямым произведениям флаговых многообразий и комплексных торов [10]. В теории О. к. м. важную роль играет каноническая эрмитова форма . По любой гладкой мере (х на комплексном многообразии М, задаваемой внешней дифференциальной формой

может быть построена эрмитова дифференциальная форма

(вообще говоря, вырожденная), не зависящая от выбора системы координат и не меняющаяся при умножении меры m на константу. Если мера m определена стандартным образом по какой-либо кэлеровой метрике на М, то форма совпадает с формой Риччи этой метрики [7]. Если потребовать, чтобы мера m. была инвариантна относительно какой-либо транзитивной группе автоморфизмов многообразия М, то она будет определена этой группой однозначно с точностью до умножения на константу, а форма вполне однозначно. В случае, когда Мо. о. о., определенная таким образом эрмитова форма положительно определена и совпадает с метрикой Бергмана. Для флаговых многообразий форма hm отрицательно определена.

Канонпч. эрмитова форма О. к. м. может быть вычислена в терминах соответствующей алгебры Ли [3]. Это служит основой для алгебраизации теории о. о. о. и других О. к. м.

Одно из направлений в теории О. к. м. состоит в изучении голоморфных функций на них при помощи аппарата линейных представлений групп Ли. Напр.

этим способом доказано [5], что многообразие G/H смежных классов полупростой комплексной группы Ли Gпо связной замкнутой комплексной подгруппе Нявляется многообразием Штейна тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна.

Существуют О. к. м., не допускающие транзитивной группы Ли автоморфизмов [11].

Лит.:[1] В orel A., "Proc. Nath. Acad. Sci. USA", 1954, v. 40, p. 1147-51; [2] Винберг Э. Б., Гиндикин С. Г., "Матем. сб.", 1967, т. 74, № 3, с. 357-77; [3] Ковzul J. L., "Canad. J. Math.", 1955, v. 7, № 4, p. 652-76; [4] Liсhnerоwiсz А., в кн.: Geometrie differentielle, P., 1953, p. 171 84; [5] Онищик А. Л., "Докл. АН СССР", 1960, т. 130, с. 72629; [6] Tits J., "Comm. math, helv.", 1962/1963, t. 37, p. 111 20; [7] Фукс Б. А., Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1963; [8] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [9] Wang H.-C, "Amer. J. Math.", 1954, v. 76, № 1, p. 1-32; [10] Воrеl А., Remmеrt R., "Math. Ann.", 1962, Bd 145, № 5, p. 429-39; [11] Kaup W., "Invent, math.", 1967, v. 3, № 1, p. 43-70.

Э. В. Винберг.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985