Математическая энциклопедия - однородное пространство алгебраической группы

алгебраическое многообразие Мвместе с заданным на нем регулярным и транзитивным действием алгебраич. группы G. Если , то изотропии группазамкнута в G. Обратно, если Нзамкнутая подгруппа нек-рой алгебраич. группы G, то на множестве левых смежных классов существует структура алгебраич. многообразия, превращающая его в О. п. а. г. G, причем естественное отображение регулярно, сепарабельно и обладает следующим универсальным свойством: для любого морфизма , постоянного на смежных классах, существует такой морфизм что . Если Млюбое О. п. а. г. Gи H=GX для какого-либо , то естественное биективное отображение регулярно, а если основное поле Кимеет характеристику 0, то бирегулярно (см. [1], [3]).

Пусть связная группа G, однородное пространство Ми действие группы Gна Мопределены над нек-рым подполем . Тогда группа k-рациональных точек G(k). переводит М(к)в себя и для Если кконечно, то , а если при этом подгруппа изотропии Gx связна, то G(h)транзитивно действует на М(к). В общем случае изучение k-рациональных точек в Мсводится к задачам теории Галуа когомологий (см. [2]).

О. п. а. г. Gвсегда является гладким квазипроективным многообразием (см. [5]). Если Gаффинная алгебраич. группа, то многообразие G/H проективно тогда и только тогда, когда Нпараболическая подгруппа в G(см. [3]). Если Gредуктивна, то многообразие G/H аффинно тогда и только тогда, когда подгруппа Нредуктивна (см. Мацусимы критерий). Известно также описание замкнутых подгрупп Нлинейной алгебраич. группы Gнад алгебраически замкнутым полем характеристики 0, для к-рых G/H квазиаффинно (см. [4], [6]).

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [3] Хамфри Д ж., Линейные алгебраи-

ческие группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Суханов А. А., "Успехи матем. наук", 1978, т. 33, в. 2, с. 182-83; [5] Сhоw W., в кн.: Algebraic geometry and topology. Symp. in Honour of S. Lefschetz, Princeton, 1957, p. 122-28; [6] Hochschild G. P., Basic theory of algebraic groups and Lie algebras, N. Y.Hdld.В., 1981.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985