Математическая энциклопедия - однородное пространство

множество вместе с заданным на нем транзитивным действием нек-рой группы. Точнее, Месть однородное пространство группы G, если задано отображение

множества в Мтакое, что:

1)

2)

3)для любых существует такой что

Элементы множества Мназ. точками О. п., группа Gгруппой движений, или основной (фундаментальной) группой, О. п. Любая точка хО. п. Мопределяет подгруппу

основной группы G. Она наз. изотропии группой, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки x. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе Gс помощью внутренних автоморфизмов.

С произвольной подгруппой Нгруппы Gсвязано нек-рое О. п. группы Gмножество левых классов смежности группы Gпо подгруппе H, на к-ром Gдействует по формуле

Это О. п. наз. факторпространством группы G по подгруппе H, а подгруппа Ноказывается стабилизатором точки еН=Н этого пространства (еединица группы G). Любое О. п. Мгруппы Gможно отождествить с факторпространством группы Gпо подгруппе являющейся стабилизатором фиксированной точки хО М, с помощью биекции

где gлюбой элемент из G, для к-рого

Если группа Gявляется топологич. группой, а H ее подгруппой (соответственно Gгруппа Ли, а Нзамкнутая подгруппа в G), то факторпространство канонич. образом снабжается структурой топологич. пространства (соответственно структурой аналитич. многообразия), относительно к-рой действие группы G на Мявляется непрерывным (соответственно аналитическим). Если группа Ли Gтранзитивно и аналитически действует на аналитич. многообразии М, то для любой точки подгруппа замкнута и указанная выше биекция аналитична;

если при этом число связных компонент группы Gне более чем счетно, то эта биекция является диффеоморфизмом.

Изучаются также случай, когда G алгебраич. группа, а Малгебраич. многообразие (см. Однород ное пространство алгебраической группы), и случай, когда Мкомплексное многообразие, a Gвещественная (или комплексная) группа Ли (см. Однородное комплексное многообразие).

В дальнейшем всюду Маналитич. многообразие, a G - группа Ли.

Геометрия однородных пространств. Согласно Эр-лангенской программе Ф. Клейна (F. Klein), предмет геометрии О. п. есть изучение инвариантов группы движений О. п. Классич. направлением исследований здесь является классификация тех или иных подмножеств О. п., прежде всего подмногообразий и их объединений, семейств подмногообразий и т. п. с точностью до движений из группы G. Такая классификация может быть получена при помощи построения полной системы инвариантов подмножества данного типа (примерами таких систем инвариантов служат длины сторон треугольника, а также кривизна и кручение гладкой кривой в трехмерном евклидовом пространстве). Общий метод построения полной системы локальных инвариантов (подвижного репера метод )для гладкого подмногообразия в произвольном О. п. группы Ли разработан Э. Картаном (см. [6], [16]).

Другое направление исследований состоит в отыскании и изучении инвариантных геометрич. объектов на О. п. (см. Инвариантный объект на однородном пространстве). Действие основной группы Ли Gв О. п. Миндуцирует действие группы Gв пространстве различных геометрич. объектов на М(функций, векторных и тензорных полей, связностей, дифференциальных операторов и т. п.). Геометрич. объекты, неподвижные относительно этого действия, наз. инвариантными объектами. Примерами таких объектов являются евклидова метрика в евклидовом пространстве, рассматриваемом как О. п. группы евклидовых движений, и конформная метрика, задающая угол между кривыми в конформном пространстве. С этим же направлением тесно связана задача описания и изучения О. п., обладающих тем или иным инвариантом. Напр., рассматриваются римановы и псевдоримановы, аффинной связности, симплектические О. п., однородные комплексные многообразия, то есть О. п., обладающие инвариантной метрикой (ри-мановой или псевдоримановой), аффинной связностью, симплектич. структурой, комплексной структурой соответственно. См. Риманово пространство однородное, Симплектическое пространство однородное, Однородное комплексное многообразие.

Важным классом О. п. является класс редуктивных О. п., т. е. таких О. п. G/H, что алгебра Ли д группы Ли Gдопускает разложение

где алгебра Ли группы H, а подпространство, инвариантное относительно присоединенного представления подгруппы Нв . Такое разложение определяет в О. п. G/H геодезически полную линейную связность с ковариантно постоянными тензорами кривизны и кручения. Обратно, односвязное многообразие с полной линейной связностью, имеющей ковариантно постоянные тензоры кривизны и кручения, является редуктивным О. п. относительно группы автоморфизмов этой связности (см. [5]). Частным случаем редуктивного О. п. является симметрич. пространство, для к-рого разложение (*) удовлетворяет дополнительно условию . Геометрически это условие означает, что соответствующая связность имеет нулевое кручение.

Примерами симметрич. пространств являются глобально симметрические римановы пространства, а также пространство произвольной группы Ли, на к-ром группа движений порождается левыми и правыми сдвигами. Однородные расслоения и теория представлений.

Действие основной группы Gпродолжается не только на расслоения геометрия, объектов, но и на более широкий класс т. н. однородных расслоений. Однородное расслоение над О. п. G/H задается левым действием подгруппы Нна произвольном многообразии F(типовом слое) и определяется как естественная проекция

где расслоенное произведение, получаемое с факторизацией прямого произведения по отношению эквивалентности

Если Рвекторное пространство, на к-ром группа Ндействует линейно, то соответствующее однородное расслоение является векторным, а в пространстве его сечений возникает линейное представление группы G, индуцированное представлением подгруппы Нв F. Изучение индуцированных представлений (свойства к-рых оказываются тесно связанными с геометрией соответствующего О. п.) и их обобщений играет важную роль в теории представлений групп Ли (см. [7]).

Анализ на однородных пространствах. К числу наиболее разработанных разделов относятся: 1) изучение различных функциональных пространств на О. п. (пространств функций, пространств сечений однородных векторных расслоений, пространств когомологий со значением в соответствующих пучках), 2) изучение инвариантных дифференциальных операторов, действующих на этих пространствах, 3) изучение различных динамич. систем, связанных с О. п.

К первому разделу относится теория сферич. функций (и, более общо, сферич. сечений), изучающая конечномерные инвариантные относительно основной группы пространства функций на О. п. (см. Представляющая функция). Многие специальные функции ма-тематич. физики интерпретируются как сферич. функции на том или ином О. п., и изучение представлений основной группы в пространствах таких функций позволяет единым образом получить основные результаты теории специальных функций (интегральные представления, рекуррентные формулы, теоремы сложения и т. п., см. [2]). Естественным обобщением теории рядов и интегралов Фурье является гармонический анализ абстрактный на О. п., одна из основных задач к-рого состоит в описании разложения пространства квадратично интегрируемых функций на О. п. в сумму подпространств, неприводимых относительно действия основной группы. Большинство полученных здесь результатов относится к случаю, когда О. п. есть пространство полупростой группы Ли (см. [4]).

Теория автоморфных функций приводит к более общей задаче о разложении на неприводимые компоненты пространства квадратично интегрируемых сечений однородного векторного расслоения над О. п. G/H, инвариантных относительно нек-рой дискретной подгруппы

Кроме пространств функций, изучаются также и различные пространства мер на О. п., напр, в связи с приложениями в теории вероятностей (см. [3], [9]).

Ко второму разделу относятся вопросы описания инвариантных дифференциальных операторов на О. п., изучение их свойств, нахождение спектра и фундаментального решения, исследование решений соответствующих дифференциальных уравнений с частными производными (см. [8], [15]).