Математическая энциклопедия - однородный выпуклый конус

открытый строго выпуклый конус Vв векторном пространстве Rⁿ, однородный относительно группы линейных преобразований таких, что (автоморфизмов конуса V). О. в. к. и наз. изоморфными, если существует изоморфизм объемлющих векторных пространств, переводящий в

Примеры.

1) Шаровой конус

Группа автоморфизмов конуса К п есть прямое произведение подгруппы индекса 2 группы Лоренца (изоморфной группе движений n-мерного пространства Лобачевского) и группы гомотетий с положительными коэффициентами.

2) Конус положительно определенных симметрических действительных матриц порядка п. Группа автоморфизмов этого конуса состоит из преобразований вида

3) Конус положительно определенных эрмитовых комплексных матриц порядка п.

4) Конус положительно определенных эрмитовых кватернионных матриц порядка n.

Выпуклый конус V, сопряженный О. в. к. V(т. е. конус в сопряженном пространстве, состоящий из всех линейных форм, положительных на V), также однороден. О. в. к. Vназ. самосопряженным, если в объемлющем векторном пространстве существует такая евклидова метрика, что при отождествлении пространства со своим сопряженным с помощью этой метрики. Все приведенные выше О. в. к. являются самосопряженными.

Классификация самосопряженных О. в. к. основана на их связи с компактными йорданоеыми алгебрами (см. [1], [2]). Действительная йорданова алгебра Аназ. компактной, если для любого где оператор умножения на а в алгебре А. Комплексификация устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных компактных йордановых алгебр и классами изоморфных полупростых комплексных йордановых алгебр. Множество квадратов обратимых элементов компактной йордановой алгебры является самосопряженным О. в. к., п все самосопряженные О. в. к. получаются таким способом. Отсюда выводится, что всякий самосопряженный О. в. к. изоморфен прямому произведению конусов описанных выше четырех типов и 27-мерных конусов, связанных с особой простой йордановой алгеброй.

Произвольные О. в. к. могут быть представлены в виде конуса положительно определенных эрмитовых матриц в нек-рых обобщенных матричных алгебрах [3]. Простейшим примером несамосопряженного О. в. к. является 5-мерный конус положительно определенных симметрических действительных матриц 3-го порядка, удовлетворяющих условию Начиная с в имеется континуум неизоморфных

О. в. к.

Во всяком О. в. к. нек-рым канонич. образом может быть определена полная риманова метрика, инвариантная относительно всех его автоморфизмов. Самосопряженные О. в. к. характеризуются тем, что они являются симметрическими пространствами относительно этой метрики. Стационарная подгруппа любой точки О. в. к. является максимальной компактной подгруппой в группе его автоморфизмов. Стационарная подгруппа единицы компактной йордановой алгебры Ав группе автоморфизмов О. в. к., ассоциированного с А, совпадает с группой автоморфизмов алгебры А. Всякий О. в. к. допускает просто транзитивную группу автоморфизмов, приводящуюся в нек-ром базисе к треугольному виду.

О. в. к. представляют особый интерес для теории однородных ограниченных областей в связи с тем, что указанные области реализуются в виде Зигеля областей, а для однородности области Зигеля 1-го или 2-го рода необходимо, чтобы был однороден ассоциированный с ней выпуклый конус. О. в. к. и связанные с ними области Зигеля являются естественными носителями нек-рых аналитич. онструкций, в частности обобщения эйлеровых интегралов и гипергеометрич. функций [8]. С каждым О. в. к. связывается многопа-раметрич. группа интегралов Римана Лиувилля, включающая нек-рые гиперболические дифференциальные операторы (напр., в случае шарового конуса таким образом получается волновой оператор). Для этих операторов может иметь место усиленный принцип Гюйгенса [9].

Исследование дискретных групп автоморфизмов самосопряженных О. в. к. важно для компактификации и разрешения особенностей локально симметрич. пространств [4]. Многие результаты классич. теории приведения, полученные для группы SLn(Z), действующей в конусе Pn(R), могут быть обобщены на произвольные самосопряженные О. в. к. (см. [5], [6]).

Лит.:[1] Коесhеr М., "Math. Ann.", 1958, Bd 135, № 3, S. 192-202; [2] Винберг 3. Б., "Докл. АН СССР", 1960, т. 133, № 1, с. 9-12; [3] его же, "Тр. Мосн. матем. об-ва", 1963, т. 12, с. 303-58; 1965, т. 13, с. 56-83; [4] Ash А. [а. о.], Smoth compactifications of locally symmetric varieties, Brookline, 1975; [5] Helwig K.-H., "Math. Z.", 1966, Bd 91, S. 152-78, 355-62; [6] Ash A., "Canad. J. Math.", 1977, v. 29, №5, p. 1040-54; [7] Hotlaus O. S., "Ann. Math.", 1966, v. 83, №2, p. 358-76; [8] ГиндикинС. Г., "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 4, с. 3-92; [9] Вайнберг Б. Р., Гиндикин С. Г., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1967, т. 16, с. 151 80.

Э. Б. Винберг.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985