Математическая энциклопедия - перегиба точка

точка Мплоской кривой, обладающая следующими свойствами: в точке Мкривая имеет единственную касательную, в достаточно малой окрестности точки Мкривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью (см. рис.1).

Пусть функция f(х).определена в нек-рой окрестности точки х 0 и непрерывна в этой точке. Точка х 0 наз. точкой перегиба функции f(x), если она является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз. В этом случае точка (x0; f(x0)).наз. точкой перегиба графика функции, т. е. график функции f(x).в точке ( х 0; f(x0))."перегибается" через касательную к нему в этой точке: при х<х 0 касательная лежит под графиком f(x), а при х>х 0 - над графиком f(х).(или наоборот) (см. рис. 2).

Необходимое условие существования П. т.: если функция f(x), дважды дифференцируемая в нек-рой окрестности точки х 0, имеет в х 0 П. т., то f "(x0)=0. Достаточное условие существования П. т.: если функция f(x).в нек-рой окрестности точки х k раз непрерывно дифференцируема, причем kнечетно и , и f⁽ⁿ⁾ (х 0)=0 при n=2,3,...,k-1, а , то функция f(x).имеет в x0 П. т.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 1, М., 1981.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985