Математическая энциклопедия - переопределенная система

система, число уравнений к-рой больше числа неизвестных. В линейном случае такие системы задаются прямоугольной -матрицей, m<n, где m число уравнений, а п - число неизвестных. Для П. с. первоочередным является вопрос ее разрешимости, выражаемый в условиях совместности.

Напр., П. с. линейных алгебраич. уравнений

разрешима тогда и только тогда, когда ранги основной матрицы и расширенной матрицы, полученной приписыванием к Астолбца свободных членов, совпадают.

Для П. с. линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(1)

где Pij - многочлен от одного (обыкновенное уравнение) или нескольких (уравнение с частными производными) переменных, a D - символ дифференцирования, условие совместности выражается в виде однородной системы уравнений с постоянными коэффициентами

(2)

где матрица qнаходится по матрице рс помощью алгебраич. соображений,

Для П. с. (1) дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами

Pij=Pij(x, D).отыскание условий совместности, имеющих вид (2) с , является значительно более трудной задачей.

Простейшим примером П. с. служит система дифференциальных уравнений

Условия совместности для этой системы, необходимые и достаточные для ее разрешимости, имеют вид

Аналитич. функции многих комплексных переменных можно также рассматривать как решения П. с. уравнений

где

Лит.:[1] Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; [2] Паламодов В. В., в сб.: Итоги науки. Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 5-37.

А. П. Солдатов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985