Математическая энциклопедия - пересечения индекс

гомологический инвариант, характеризующий алгебраическое (т. е. учитывающее ориентацию) число точек пересечения двух подмножеств дополнительных размерностей в евклидовом пространстве или ориентированном многообразии (находящихся в общем положении). В случае неориентируемого многообразия в качестве кольца коэффициентов R для гомологии рассматривается .

Пусть такие пары подмножеств евклидова пространства , что , и пусть

отображение, для к-рого d(x,у)=х-у. Индексом пересечения xoh классов гомологии , наз. элемент . Здесь d* - индуцированное отображение гомологии, а

внешнее гомологич. произведение элементов xи h.

П. и. зависит лишь от тех частей классов x и т), носители к-рых попадают в произвольно малую окрестность Vзамыкания множества . В частности, , если . Кроме того, если V, при , то определены соответствующие каждому открытому множеству Vi локальные П. и. x и h), сумма к-рых совпадает с . Инвариант не меняется при гомеоморфизмах . Вместе с предшествующим свойством локальности это позволяет определить П. и. для компактных подмножеств ориентированного многообразия. Имеет место следующее соотношение антикоммутативности:

Если Xи Yвекторные подпространства общего положения, а x и h - образующие , то образующая . Так как выбор указанных образующих равносилен выбору ориентации в соответствующих евклидовых пространствах, это дает возможность определить П. и. двух цепей дополнительных размерностей (в том числе сингулярных), для к-рых (|с| носитель, а дс - граница цепи с). При этом для определяемых цепями с, с' классов гомологии ,

П. и. применяется для описания нек-рых соотношений двойственности в многообразиях.

Лит.:[1] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1076. Е. Г. Скляренко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985