Математическая энциклопедия - предельного поглощения принцип

способ однозначного выделения решений уравнений, аналогичных Гелъмголъца уравнению, с помощью введения бесконечно малого поглощения. Математич. смысл П. п. п. состоит в следующем. Пусть W неограниченная область в , Р - самосопряженный оператор в L2(W), задаваемый дифференциальным выражением

, и однородными граничными условиями на дW, l точка непрерывного спектра оператора Р. Тогда при уравнение

однозначно разрешимо в L2(W) и в нек-рых случаях можно выделить решения u=u+ уравнения

с помощью предельного перехода

При этом предполагается, что f имеет компактный носитель, а сходимость при понимается в смысле L2(W'), где W' произвольная ограниченная область в W. Так как l точка спектра оператора Р, то указанный предел в L2(W), вообще говоря, не существует.

Впервые П. п. п. был сформулирован для уравнения Гельмгольца в (см. [1]):

Выделяемые с помощью этого принципа решения и + соответствуют расходящимся или сходящимся волнам и удовлетворяют излучения условию на бесконечности. Эти результаты были перенесены (см. [2], [3]) на эллиптические краевые задачи во внешности ограниченной области в для оператора

(*)

где коэффициенты а ki(x) достаточно быстро стремятся к константам при . Для справедливости П. п. п. в этом случае необходимо требовать, чтобы l не было собственным значением оператора Рили f была ортогональна собственным функциям. Теорема Като (см. [3]) дает достаточные условия отсутствия собственных значений на непрерывном спектре оператора Р=D+q (х). Такая теорема получена для оператора (*) (см. [3]). П. п. п. обоснован для нек-рых областей с некомпактной границей (см. [3], [4]).

П. п. п. и соответствующие условия излучения найдены для уравнений любого порядка и систем уравнений (см. [5], [6]); они состоят в следующем.