Математическая энциклопедия - предельные теоремы

теории вероятностей общее название ряда теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Первые П. т., установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) и П. Лапласом (P. Laplace, 1812), относятся к распределению отклонений частоты m п/п появления нек-рого события Епри nнезависимых испытаниях от его вероятности р,0<р<1 (точные формулировки см. в статьях Бернулли теорема, Лапласа теорема). С. Пуассон (S. Poisson, 1837) распространил эти теоремы на случай, когда вероятность pk наступления события Ев k-м испытании может зависеть от k, описав предельное поведение при распределения отклонений частоты mn/n от среднего арифметического вероятностей (см. Пуассона теорема). Если обозначить через Х k случайную величину, принимающую значение, равное единице при появлении события Ев k-м испытании, и значение, равное нулю при появлении противоположного события, mn можно представить в виде суммы

что позволяет рассматривать перечисленные теоремы как частные случаи двух более общих утверждений, относящихся к суммам независимых случайных величин больших чисел закона и центральной предельной теоремы (к-рые приводятся нише в их классич. формулировке).

Закон больших чисел.

Пусть

(1)

последовательность независимых случайных величин, sn - сумма первых пиз них:

(2) А п и соответственно математич. ожидание

и дисперсия

суммы sn. Говорят, что последовательность (1) подчиняется закону больших чисел, если при любом e>0 вероятность неравенства

стремится к нулю при

Широкие условия приложимости закона больших чисел найдены впервые П. Л. Чебышевым (1867) и затем обобщены А. А. Марковым (1906). Вопрос о необходимых и достаточных условиях приложимости закона больших чисел был окончательно решен А. Н. Колмогоровым (1928). В случае, когда случайные величины Х п имеют одну и ту же функцию распределения, эти условия, как показал А. Я. Хинчин (1929), сводятся к одному: величины Х n должны иметь конечные математич. ожидания.

Центральная предельная теорема. Говорят, что к последовательности (1) применима центральная предельная теорема, если при любых z1 и z2 вероятность неравенства

z1 В n < sn An < z2Bn имеет пределом при величину

Ф(z2) -Ф(z1),

где

(см. Нормальное распределение). Довольно общие достаточные условия применимости центральной П. т. были указаны П. Л. Чебышевым (1887), но в его доказательстве обнаружились пробелы, восполненные лишь позже А. А. Марковым (1898). Решение вопроса, близкое к окончательному, было получено А. М. Ляцуновым (1901). Точная формулировка теоремы Ляпунова такова: пусть

Если отношение стремится к нулю при , то к последовательности (1) применима центральная П. т. Окончательное решение вопроса об условиях применимости центральной П. т. получено в основных чертах С. Н. Бернштейном (1926) и дополнено В. Феллером (W. Feller, 1935). В условиях центральной П. т. относительная точность аппроксимации вероятности неравенства типа sn-An>znBn, где zn неограниченно растет вместо с n, величиной 1-Ф(zn) может быть весьма невысокой. Необходимые для повышения точности поправочные множители указываются в П. т. для вероятностей больших отклонений (см. Больших отклонений вероятности, Крамера теорема). Вслед за Г. Крамером (Н. Cramer) и В. Феллером вопрос исследовался Ю. В. Линником и др. Типичные результаты, относящиеся к этой области, легче всего пояснить на примере сумм (2) независимых одинаково распределенных случайных величин Х 1 ,. . ., Х п,... с EXj=0 и DXj=1;в этом случае

An=0,

Пусть, напр., рассматривается вероятность неравенства

Эта вероятность равна 1-Fn(zn), где Fn(z) - функция распределения величины и при фиксированных zn=z и

(3)

Если zn зависит от п, причем так, что при , то

и формула (3) становится бесполезной. Необходимы оценки для относительной точности аппроксимации, т.