Математическая энциклопедия - приближение функций

экстремальные задачи на классах функций задачи, связанные с отысканием верхней грани погрешности приближения на фиксированном классе функций и с выбором для него наилучшего в том или ином смысле аппарата приближения. Начало исследованиям по экстремальным задачам П. ф. положили работы А. Н. Колмогорова (см. [1] [2]), Ж. Фавара (см. [3] [4]) и С. М. Никольского (см. [5]-[6]). Широкое развитие эти исследования получили начиная с 50-х гг. 20 в.; они стимулировались потребностями вычислительной математики, все больше сталкивавшейся с задачами оптимизационного содержания.

Если в нормированном функциональном пространстве Xрассматривается П. ф. из класса функциями фиксированного множества , то интерес представляют задачи отыскания величин

(1)

где

наилучшее приближение функции f(t)множеством , а также

(2)

где U - нек-рый конкретный метод приближения, задаваемый тем или иным оператором, действующим из X в. Сгеометрич. точки зрения верхняя грань (1) характеризует величину уклонения множества от в метрике X. Практич. смысл величины можно видеть в том, что она, во-первых, дает минимально возможную оценку сверху для наилучшего приближения множеством функции, о к-рой известно только, что она принадлежит классу , а во-вторых, является определенным ориентиром при оценке и сравнении аппроксимативных возможностей конкретных методов приближения на классе . Что касается величины (2), то наиболее важным является случай, когда есть N-мерное подпространство, U - линейный метод приближения. Известен целый ряд точных и асимптотически точных результатов по приближению классов функций конкретными линейными .методами (в частности, полиномами и сплайнами) (см. [1]-[12], [19]), но особый интерес вызывают методы, реализующие точную нижнюю грань

(3)

распространенную на все линейные ограниченные операторы Uиз Xв , т. е. линейные методы, наилучшие для класса . Ясно, что всегда

и, естественно, возникает вопрос о возможности здесь знака равенства. Помимо тривиального случая, когда X - гильбертово пространство функций и наилучшее приближение каждой функции доставляют суммы Фурье по ортонормированному базису , известны ситуации в негильбертовом пространстве, когда линейный метод реализует наилучшее приближение на всем классе

Так, если X - пространство 2p-периодических функций подпространство тригонометрич. полиномов порядка n-1(dim=2n-1), класс функций , у к-рых f^(r-1)(t).абсолютно непрерывна на [0,2p] и , то

где К rконстанты Фавара, причем наилучшее приближение на классах и реализует линейный метод , построенный на базе сумм Фурье (см. Приближение функций;линейные методы приближения, формула (3)) при определенном выборе множителей . Построены линейные операторы со значениями в , реализующие верхнюю грань наилучших приближений на классах сверток, включающих, в частности, классы и с дробными r>0, а также классы сопряженных функций (см. [10], [11]).

Для приближения подпространством 2p-периодических сплайнов порядка тдефекта 1 с узлами склей ки kp/n(dim =2n).справедливы равенства

наилучшим линейным методом здесь являются сплайны sr-1(f, t).из , интерполирующие функцию f(t).в точках kp/n, если r четно, и в точках kp/n+p/2n, если rнечетно. Относительно класса эти сплайны обладают исключительными аппроксимативными свойствами, т. к. наилучшим образом приближают функции в любой метрике (см. [7]).

Перечисленные случаи, когда величины (1) и (3) совпадают и удается построить конкретный линейный метод, решающий сразу обе задачи, являются, в известном смысле, идеальными. В других ситуациях эффективным при решении задачи (1) оказывается подход, основанный на использовании общих теорем двойственности, отражающих фундаментальные соотношения геометрии выпуклого анализа (см. [7], [8]). Если, напр., X - произвольное линейное нормированное пространство, X*- ему сопряженное, выпуклое множество в X, то для любого элемента

(4) в частности, если подпространство, то

(5)

Соотношения (4) или (5) позволяют в ряде случаев свести вычисление или оценку верхней грани (1) к более обозримой задаче на экстремум явно задаваемого функционала на нек-ром множестве функций, связанных, если подпространство, условиями ортогональности. Например, используя (5), оценку можно свести с помощью известных

неравенств к вычислению верхней грани норм ||g||q'(q' =q/(q-1)) на множестве функций

таких, что

Более тонкая ситуация возникает, если задача (1) решается на классах, задаваемых ограничениями не на норму r-й производной f^(r)(t) а на ее модуль непрерывности , в частности когда (r=0,1,...; ) класс 2p-периодических функций , у к-рых

где w(d) заданный модуль непрерывности, напр.

. Здесь применение (5) требует использования тонких свойств дифференцируемых периодич. функций тина теорем сравнения и Колмогорова неравенств (для норм производных), но описываемых с помощью аппарата перестановок (равноизмеримых функций). При условии выпуклости вверх w(d) справедливы равенства (см. [7], [13])

где или функция из периода 2p/п с нулевым средним значением на периоде,

у к-рой четна, равна на [0, p/2n] и равна на . Нормы допускают явное выражение, напр.:

где функции Ф k(t)задаются на [0, p] рекуррентно:

Решение задач о наилучшем для класса линейном методе из в или в известно в случае

, т. е. когда

Интерполяционные сплайны sr(f, t).из реализуют верхнюю грань (при любом выпуклом w(d)) лишь в случае r=1.

При решении экстремальных задач на классах функций, заданных на конечном отрезке и не связанных жесткими краевыми условиями, нельзя ждать результатов в столь совершенном, как в периодич. случае, виде: на экстремальных функциях сказывается возмущающее действие концов промежутка, к-рое усугубляется с увеличением порядка дифференцируемости. Здесь известны нек-рые результаты с точной асимптотикой. Если MW^rH^a(r=0,l,. . .; , MW⁰H^a=МН^a).класс функций , у к-рых

то для наилучшего равномерного на [-1, 1] приближения подпространством алгебраич. многочленов степени п-1 имеют место соотношения

(6)

(7)

к-рые полезно сравнить с соответствующими результатами в периодич. случае; при a=1 правые части (6) и (7) равны соответственно МК 1 и MKr+1. Отказавшись от многочленов наилучшего приближения, можно усилить эти результаты, существенно улучшив приближение у концов отрезка [1, 1] без потери наилучшей асимптотики на всем промежутке. Напр., для любой существует последовательность алгебраич. многочленов таких, что равномерно по при

Аналогичный факт имеет место для функций классов MW^rH¹(r=1, 2, . . .) (см. [11]). В задачах приближения сплайнами (наилучшими и интерполяционными) классов функций, заданных на отрезке, известны нек-рые точные (гл. обр., для сплайнов малого порядка) и асимптотически точные результаты (см. [15]).

В случае одностороннего приближения (в интегральной метрике) известен ряд точных результатов по оценке погрешности наилучшего приближения полиномами и сплайнами на введенных выше классах функций (см. [19]). При их получении существенно использовались соотношения двойственности для наилучшего приближения при наличии ограничений, задаваемых с помощью конуса.

Отыскание наилучшего аппарата приближения (фиксированной размерности) для данного класса функций приводит к задачам о поперечниках: найти величины (см. (1) и (3))

где нижние грани берутся по всем подпространствам из X (и их сдвигам) размерности N, а также указать экстремальные (наилучшие) подпространства, реализующие эти нижние грани. Оценки сверху для dN и дают найденные для конкретных подпространств величины и , основная трудность в задаче о поперечнике обычно состоит в получении точных оценок снизу. В ряде ситуаций получить такие оценки удается, привлекая топологич. соображения, в частности теорему Борсука об антиподах (см. [8]). Практически во всех случаях точного решения задачи о наилучшем приближении классов и периодич. функций подпространствами (тригонометрич. полиномов порядка п-1) и (сплайнов нек-рого порядка тдефекта 1 по разбиению kp/n). найденные точные верхние грани Е(, )X дают и значения поперечников dN этих классов, причем оказалось, что для периодич. классов d2n-1=d2n. В частности (см. [7], [8]) ,

а при выпуклом вверх w(d) и или