Математическая энциклопедия - проективная алгебра

в узком смысле алгебра точек на проективной прямой; проективно-инвариантные конструкции для определения сложения и умножения точек проективной прямой l, расположенной в нек-рой проективной плоскости p, для к-рой выполняется Дезарга предложение. Эти конструкции зависят от выбора на l трех различных точек О, Е, U.

Конструкция I определяет для любых двух точек Аи В, отличных от U, третью точку А+В, также отличную от Uи называемую суммой точек A и В.

Для этого в плоскости p проводятся три прямые а, b и u, отличные от l, не проходящие через одну точку и проходящие соответственно через точки А, В и U. Пусть Р - точка пересечения прямых ии a, Qточка пересечения прямых ии b, R - точка пересечения прямых OQ и a, S - точка пересечения прямых b и UR. Тогда прямая PS пересекает прямую lв определенной точке Т=А+В (общий случай на рис. 1). Оказывается, так построенная точка зависит лишь от А, В, О, U и не зависит от выбора прямых и точки Е.

Конструкция II определяет для любых двух точек Аи В, отличных от U, третью точку А ^. В, также отличную от U, называемую произведением точек A и В. Для этого в плоскости проводятся три прямые а, b, и, проходящие соответственно через точки А, Ви U, отличные от lи не проходящие через одну точку. Пусть Р - точка пересечения прямых ии a, Q - точка пересечения прямых ии b, R - точка пересечения прямых EQ и a, S - точка пересечения прямых OR и b. Тогда прямая PS пересекает прямую lв определенной точке Т=А ^. В (общий случай на рис. 2). Оказывается, так построенная точка зависит лишь от А, В, О, Е, U, но не зависит от выбора прямых a, b и u.

Относительно этих операций сложения и умножения точки прямой l(отличные от U).образуют тело К ( О, Е, U). Поменяв ролями Аи Вв конструкции II, получают инверсно изоморфное тело K*(О, Е, U). Если О', Е', U' - любая другая упорядоченная тройка точек на прямой l из той же плоскости p, то соответствующее тело К'( О', Е', U').изоморфно К( О, Е, U).вследствие того, что между прямыми lи l' существует проективное соответствие; поэтому любое тело К, изоморфное им, наз. просто телом данной проективной плоскости (или даже данной проективной геометрии); говорят также, что имеет место проективная геометрия над телом К. В общих случаях конструкций I и II фигурируют четыре лежащие в одной плоскости точки Р, Q, R, S, никакие три из к-рых не коллинеарны; они образуют т. н. (полный) четырехвершинник с тремя парами противоположных сторон PQ, RS; PS, QR; PR, QS. Точки пересечения Z, X, Y этих пар противоположных сторон называется диагональными точками, а прямые, соединяющие диагональные точки,диагоналями. Специальный случай, не показанный на рисунке, соответствует той ситуации, когда X, Y, Z коллинеарны (см. Фано постулат).

Аналогичные построения проводятся и в пучке прямых, проходящих через одну точку с использованием (полного) четырехсторонника фигуры, двойственной четырехвершиннику, и приводят к телу К*, инверсно изоморфному К.

Свойства проективной прямой lкак алгебраич. системы определяются геометрическими (проективно-ин-вариантными) свойствами проективной плоскости, в к-рой она расположена. Так, напр., коммутативность Кэквивалентна выполнению Паппа аксиомы;то, что характеристика Кне равна 2, эквивалентно постулату Фано; при отсутствии автоморфизмов у тела К, отличных от внутренних, любое проективное преобразование есть коллинеаиия, и т. д.

С помощью тела Кна прямой, а затем и в проективном пространстве, ее содержащем, вводятся проективные координаты, описывающие алгебраич. модель проективного пространства, так что содержание проективной геометрии по существу определяется свойствами того тела К, над к-рым она построена.

В широком смысле П. а. исследует совокупность подпространств проективного пространства, являющуюся дедекиндовой решеткой с дополнениями; при этом конечномерности пространства не требуется, но накладываются условия полноты, существования однородного базиса и т. д., благодаря чему устанавливаются разнообразные связи с теорией простых и регулярных колец, теорий операторных абелевых групп и др. разделами алгебры. Лит.:[1] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [2] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985