Математическая энциклопедия - проективная прямая

проективное пространство размерности 1; П. п., рассматриваемая как самостоятельный объект, является замкнутым одномерным многообразием. П. п. является своеобразным проективным пространством на ней нет интересных отношений инцидентности, как у проективных пространств большей размерности. Единственным инвариантом П. п. служит число ее точек. П. п. наз. непрерывной, дискретной или конечной, если она инцидентна со множеством точек мощности континуума, счетным или конечным соответственно.

П. п. наз. упорядоченной, если на ней задано отношение разделения двух пар различных точек. Предполагается, что разделение не зависит от порядка пар и порядка точек в парах и любая четверка различных точек разбивается на две взаимно разделяющиеся пары единственным образом, а также принимается аксиома расположения, связывающая пять различных точек (см., напр., [1]). Упорядочение П. п. над полем R связано с упорядоченностью этого поля, а именно: пара точек {А, В} разделяет пару {С, D}, если двойное отношение (А, В; С, D).отрицательно, и не разделяет, если (А, В; С, D).положительно. Конечную П. п. PG(1, q).над Галуа полем нечетного порядка qможно упорядочить аналогично вещественной П. п. Полагают (см. [4]), что пара точек {А, В} разделяет пару {С, D} тогда и только тогда, когда ( А, В; С, D) - квадратичный вычет поля Галуа GF(q).

П. п. приобретает определенное геометрич. строение, если она вложена в проективное пространство большей размерности; так, напр., П. п. однозначно определяется двумя различными точками, а аналитич. определение П. п. как множества классов эквивалентности пар элементов тела k, не равных одновременно нулю, по существу эквивалентно вложению П. п. в проективное пространство . Если P1(k).является П. п. над полем k, то группа автоморфизмов П. п. Aut P1(k).может быть представлена на точках P1(k).в параметрич. форме как множество отображений

Группа алгебраич. автоморфизмов действительной П. п. изоморфна группе перемещений действительной плоскости Лобачевского, а порядок группы Aut PG(1, p^h).равен h(p^3h-p^h).

На П. п. можно построить другие геометрии. Так, напр., плоскость Мёбиуса порядка рдопускает интерпретацию на П. п. PG(1,p²) (см. [5]). Другой традиционной геометрич. конструкцией является изображение проективного пространства Pn(k).на П. п. P1(k).(см. [2]), при к-ром точки из Р п(k).изображаются набором пточек П. п. Р 1(k).(здесь k - алгебраически замкнутое поле).

Лит.:[1] Глаголев Н. А., Проективная геометрия, М., 1963; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [3] Hughes D. R., Piper F. С., Projective planes, N. Y., 1973; [4] Kustaanheimo P., "Comment, phys.-math.", 1957, v. 20, № 8; [5] Veblen O., Young J. W., Projective geometre, v. 1, Boston, 1910.

В. В. Афанасъев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985