Математическая энциклопедия - проективная схема

замкнутая подсхема проективного пространства ; в однородных координатах x0, . . ., х п на проективная схема задается системой однородных алгебраич. уравнений:

Каждая П. с. является полной (компактной в случае k=); обратно, полная схема проективна, если на ней есть обильный обратимый пучок. Имеются и другие критерии проективности.

Обобщением понятия П. с. служит проективный мор-физм. Морфизм схем наз. проективным (а X схемой, проективной над Y), если Xявляется замкнутой подсхемой проективного расслоения , где локально свободный -модуль. Композиция проективных морфизмов проективна. Проективность морфизма сохраняется и при замене базы; в частности, слои проективного морфизма являются проективными схемами (но не обратно). Если схема Xпроективна, а конечный сюръективный морфизм, то и Zпроективна.

Любая П. с. (над Y) может быть получена при помощи конструкции проективного спектра. Ограничиваясь случаем аффинной базы, Y=Sрес R:пусть градуированная R-алгебра, причем R-модуль A1 имеет конечный тип и порождает алгебру А, и пусть Proj (A)множество однородных простых идеалов , не содержащих А 1. Снабженное естественной топологией и структурным пучком множество Proj (A).является проективной Y-схемой; более того, любая проективная Y-схема имеет такой вид.

Лит.:[1] Мамфорд Д., Алгебраическая геометрия, т. 1 Комплексные проективные многообразия, пер. с англ., М., 1979; [2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1-972, с. 47-112. В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985