Математическая энциклопедия - проективное изгибание

распространение на проективную геометрию понятия изгибания (наложения) в метрич. теории поверхностен, дано Г. Фубини (G.-Fubini, 1910) (обобщение этого понятия на геометрию любой группы преобразований получил Э. Картав, Е. Cartmi, 1920) с использованием понятия т. н. качения одной поверхности по другой.

Пусть G - группа преобразований пространства Е. Поверхность S' налагается на поверхность S(или катится по S).в геометрии группы G, если между их точками устанавливается взаимно однозначное соответствие так, что каждой паре соответствующих точек . можно присоединить преобразование , к-рое переводит S' в положение S. При этом требуется, чтобы

1) М' совмещалась с М;

2) каждая кривая , проходящая через М, имела в этой точке касание n-ro порядка с соответствующей кривой (т. е. расстояние между точками М'* и М*, близкими к общей точке М'= М, будет бесконечно малым порядка n+1 но сравнению с расстоянием их от общей точки). Соответствие Sи S', характеризующееся числом п, наз. наложением n го порядка.

Содержащееся здесь понятие расстояния не вносит ограничения на геометрию группы. Однако здесь речь идет о порядке касания кривых в несколько более тесном, чем обычно, смысле слова (отличие состоит э том, что соответствие между точками обеих кривых уже установлено наложением, тогда как обычно оно устанавливается при определении порядка касания).

Пусть, далее, G - группа проективных преобразований и пусть Sи S' проективно налагаются. Тогда П. и. есть преобразование поверхности Sс сохранением проективного линейного элемента

где F2 и F3 Фубини формы (при этом здесь наложимость 2-го порядка). И оказывается, что, кроме линейчатых поверхностей, только т. н. поверхности R(см. [1]) допускают нетривиальное П. и.

Проективная геометрия занимает некое среднее положение между метрической, где, вообще говоря, всякая поверхность может изгибаться, и аффинной, где понятие изгибания не имеет места: любые две поверхности допускают наложение 1-го порядка и никакие две различные не могут иметь наложение 2-го порядка.

Лит.:[1] Фиников С. П., Проективно-дифференциальная геометрия, М.Л., 1937; [2] Норден А. П., Пространства аффинной связности, 2 изд., М., 1976.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985