Математическая энциклопедия - проективные координаты

взаимно однозначное соответствие между элементами проективного пространства П n (К). (проективными подпространствами Sq).и классами эквивалентных упорядоченных конечных подмножеств элементов тела К. П. к. подпространств Sq при q>0 (наз.. также грассмановыми координатами) определяются через координаты точек (0-мерных подпространств), лежащих в Sq, и потому достаточно определить П. к. точек проективного пространства.

Пусть в совокупности строк ( х ⁰, х ¹, . . ., х ^п)=х не равных одновременно нулю элементов тела К(к-рые наз. также однородными Координатами точек) введено отношение эквивалентности слева (справа): х~у, если существует такое, что х ⁱ=l у ⁱ ( х ⁱ=у ⁱl), i=0, . . ., n. Тогда совокупность классов эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с совокупностью точек проективного пространства . Если интерпретируется как множество прямых левого (правого) векторного пространства , то однородные координаты точки Мимеют смысл координат векторов, принадлежащих прямой l, представляющей эту точку, а П. к.совокупности всех таких координат.

В общем случае П. к. точек проективного пространства ПД относительно нек-рого базиса вводятся чисто проективными средствами (при обязательном выполнении в П n Дезарга предложения).следующим образом.

Множество sn(n+1) независимых точек А 0, . . ., А п пространства П n наз. симплексом, при этом точки А 0, . . ., А i-1, Ai+t, . . ., А п также независимы и определяют-век-рое подпространство Sn-1=Sⁱ, наз. гранью этого симплекса. Существует нрк-рая точка Е, не лежащая ни на одной из граней Sⁱ. Пусть i0, i1, . . ., in- любая перестановка чисел О, 1, . . ., п. Точки , и Еоказываются независимыми и определяют нек-рое Sn-k. Далее, точки определяют тоже нек-рое Sk, а так как суммой Sk и Sn-k является все пространство П n, то Sk и Sn-k имеют в точности одну общую точку Е i0...ik не лежащую ни в одном из (k-1)-мерных подпространств, определяемых точками при этом также независимы. Таким образом получается 2ⁿ⁺¹-1 точек , включая точки Ei=Ai и Е 0...п=Е, к-рые и образуют репер пространства Sn=П n; симплекс sn является его остовом.

На каждой прямой AiAj имеются три точки Ai, Aj, Eij, пусть они играют роль точек О, U, К в определении тела Крассматриваемой проективной геометрии (см. Проективная алгебра). Тела К( А i, Е ij, Aj).и К( А k, Е kl, А l) изоморфны друг другу, причем изоморфизм устанавливается проективным соответствием между точками двух прямых AiAj и AkAl таким, что точки А k, Ekl, Al отвечают точкам А i, Eij, Aj. Элемент тела К, соответствующий точке Рпрямой AiAj, наз. проективной координатой р точки Рв шкале (( А i, Е ij, Aj). В частности, П. к. Е ij всегда равна 1, а П. к. Рв шкале (( А j, Е ij, Ai).есть p* = р ^-1.

Пусть Р - точка пространства, не лежащая ни на одной из граней симплекса sn: А 0, . .., А n, обращающего вместе с нек-рой точкой Ерепер R. Если использовать точку P вместо Ев вышеприведенной конструкции репера, то получится последовательность точек Р i, Р ij, Pijk, ..., где лежит в подпространстве, определяемом (но не лежит ни в одной из гра ней симплекса sk, образованного этими точками). Пусть Р ij координата точки Р ij (лежащей на А i А j).в шкале ( А i, Е ij, Aj). Тогда если i, j, k попарно различны, то

Пусть x0 произвольный элемент К, отличный от нуля, а (при этом оказывается, что ). Тогда совокупность эквивалентных между собой строк, определяемых различными элементами х 0, и дает П. к. точки Ротносительно репера R.

Пусть Рлежит в подпространстве Sk, определяемом точками , но не лежит ни в одной из граней симплекса, определяемого этими точками. Пусть совокупность эквивалентных строк является П. к. точки Ротносительно репера Rподпространства Sk, определяемого симплексом sk и точкой Ei0...ik. Тогда П. к. точки Ротносительно репера Rзадаются следующим образом: yi=xi, i=i0, . . ., ik; yi=0, i i0,. . ., ik.

Любая совокупность эквивалентных между собой слева (справа) (n+1) строк, построенная вышеизложенным способом, соответствует одной и только одной точке Рпространства ПД и определяет поэтому в нем П. к. Лит.:[1] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. о англ., т. 1, М., 1954. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985