Математическая энциклопедия - регулярное пространство

топологическое пространство, в к-ром для каждой точки хи каждого не содержащего ее замкнутого множества Анайдутся непересекающиеся множества Uи Vтакие, что и . Регулярными являются все вполне регулярные пространства и, в частности, все метрические пространства.

Если в Р. п. все одноточечные подмножества замкнуты (а это выполняется не всегда!), то оно наз. Т 3- п . р о с т р а н с т в о м. Не всякое Р. п. вполне регулярно: существует бесконечное Т 3 -пространство, на к-ром каждая непрерывная действительная функция постоянна. Тем более, не каждое Р. п. является нормальным пространством. Однако если пространство регулярно и из каждого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие, то оно нормально. Пространство со счетной базой метризуемо в том и только в том случае, если оно является Т 3 -пространством. Регулярность наследуется любыми пространствами и мультипликативна.

Лит.:[1] К е л л и Д ж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М.; 1981; [2] А р х а н г е л ь с к и й А. В., П о н о м ар е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985