Математическая энциклопедия - регулярная граничная точка

точка y0 границы Г области Dевклидова пространства , в к-рой для любой непрерывной на Г функции f(y)обобщенное решение u (x) Дирихле задачи в смыслеВинера Перрона (см. Перрона метод).принимает граничное значение , то есть

Р. г. т. для области Dобразуют множество R, в точках к-poгo дополнение не является разреженным множеством; множество иррегулярных граничных точек есть полярное множество типа Fs . Если все точки Г суть Р. г. т., то область Dназ. регулярной относительно задачи Дирихле.

Для того чтобы точка была Р. г. т., необходимо и достаточно, чтобы в пересечении области Dснек-poй окрестностью Uточки y0 существовал барьер, т. е. супергармонич. функция w(x)>0 в U0 такая, что lim w(x)=0(к р и т е р и й б а р ь е р а Л еб е г а). A. Лебег (Н. Lebesgue, 1912) впервые показал, что при вершина достаточно острого входящего в Dострия может не быть Р. г. т.

Пусть

емкость. Для того чтобы точка была Р. г. т., необходимо и достаточно, чтобы расходился ряд

или при n=2 ряд

причем здесь

(к р и т е р и й В и н е р а).

При n=2 точка является Р. г. т., если существует непрерывный путь х(t),, такой, что

, при . При точка является Р. г. т., если ее можно коснуться вершиной прямого кругового конуса, принадлежащего CD в достаточно малой окрестности . В случае области Dкомпактифицированного пространства , бесконечно удаленная точка всегда является Р. г. т.; при n=2 бесконечно удаленная точка является Р. г. т., если существует непрерывный путь , такой, что при и lim

См. также Иррегулярная граничная точка.

Лит.:[1] К е л д ы ш М. В., "Успехи матем. наук", 1941, в. 8, с. 171-232; [2] Л а н д к о ф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [3] X е й м а н У., К е н н е д и П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985