Математическая энциклопедия - регулятор

поля Kа л г е б р а и ч е с к и х ч и с е л число RK-, к-рое, по определению, равно 1, если Kесть поле или мнимое квадратичное расширение ноля , а в остальных случаях равно , где r - ранг группы Е единиц поля K(см. Алгебраическое число, Алгебраическая теория чисел), а -мерный объем основного параллелепипеда r-мерной решетки в , являющейся образом группы Епри ее логарифмическом изображении l в При этом гомоморфизм lопределяется следующим образом. Пусть s1, . . .,ss - все вещественные, a ss+1, . . .,ss+t -комплексные попарно несопряженные изоморфизмы Kв (см. Дирихле теорема о единицах). Тогда r+l=s+t, а гомоморфизм определяется формулой

где

Образом гомоморфизма lявляется r-мерная решетка в , лежащая в плоскости ( х i- канонич. координаты).

Единицы el, . . ., er, для к-рых l(e1), . . ., l(er )является базисом решетки l(Е), наз. о с н о в н ы м и е д и н и ц а м и поля Kи

Имеются и другие формулы, связывающие Р. с другими инвариантами поля K(см., напр., Дискриминант,3)). Если вместо Ерассматривать пересечение этой группы с каким-либо порядком поля K, то аналогично можно определить регулятор порядка .

Лит.:[1] Б о р е в и ч З. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Л е н г С., Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966. В.