Математическая энциклопедия - регуляризации метод

метод построения приближенных решений некорректных задач, состоящий в том, что в качестве приближенных решений некорректных задач [точнее некорректно поставленных задач (н. п. з.)] берутся значения регуляризирующего оператора с учетом приближенного характера исходной информации (см. Некорректные задачи).

Для определенности ниже рассматривается задача нахождения решений функциональных уравнений вида Az=u, в к-рых z и и - элементы метрич. пространств F и Uс расстоянием и . Если, напр., А - вполне непрерывный оператор, то решения такого уравнения не обладают свойством устойчивости к малым изменениям правой части и. Пусть вместо точных значений исходной информации даны их приближения . В этих условиях речь может идти лишь о нахождении приближений к решению уравнения . Нельзя в качестве приближенного решения н. п. з. такого вида с приближенной исходной информацией брать точное решение уравнения , т. к. такого решения может не существовать, а если оно и существует, то не будет устойчивым к малым изменениям исходной информации и, следовательно, такое "решение" может не допускать физич. интерпретации. В дальнейшем полагается для простоты, что приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор Азадан точно.

Пусть d - оценка уклонения от т. е. расстояния , и F0 М F - заданный класс возможных решений (моделей сравнения). Естественно искать приближенные решения уравнения среди элементов , сопоставимых с исходной информацией, т. е. таких, что . Пусть Fd - множество всех таких элементов из F0 . Если в выбранном классе F0 возможных решений нет элементов (напр., функций z(s)), сопоставимых с исходными данными, то это значит, что элементы z из F0 имеют слишком упрощенную (грубую) структуру. В этом случае надо расширять класс F0, беря, возможно, последовательность расширяющихся классов , пока не найдется класс Fn, содержащий элементы (напр., функции), сопоставимые с исходными данными.

Если Fn не пусто, то оно может содержать существенно отличающиеся друг от друга элементы(функции). В таких случаях одно лишь требование сопоставимости возможных решений с исходными данными не может служить критерием нахождения однозначно определенных приближенных решений уравнений , т. к. нет достаточных оснований для выбора в качестве приближенного решения того или иного сопоставимого элемента из F п.

Для однозначного определения устойчивых решений необходим нек-рый принцип отбора сопоставимых с решений. Обычно его формулируют, пользуясь смыслом задачи. Такой отбор может быть произведен, напр., по принципу выбора элемента (функции) из Fn, имеющего минимальную сложность. Понятие сложности элемента z может быть формализовано, напр., с помощью функционалов сложности W[z] - непрерывных, неотрицательных и удовлетворяющих нек-рым специальным условиям (см. [1]). За меру сложности элемента z принимается значение функционала W[z]. Так, если элементами z являются непрерывные на отрезке [а, b]функции z(s) класса , то функционал сложности W[z] можно взять, напр., в виде

Желание искать приближенные решения уравнений среди простейших элементов (функций), сопоставимых с исходными данными, приводит к задаче нахождения элемента из Fd, минимизирующего W[z] на Fd . Если оператор Алинейный и функционал W[z]не имеет локальных минимумов на области своего определения FW, то эта задача может быть сведена (см. подробнее в [1]) к задаче нахождения элемента za из множества , минимизирующего функционал

Значение параметра a (параметра регуляризации) должно быть согласовано с уровнем погрешности исходных данных. Его можно определить, напр., по невязке, т. е. из условия , если известно число d. Но возможны и др. способы определения a (см. [1]). Таким образом, параметр a должен зависеть от d и , . Элемент и принимается за приближенное решение уравнения . Это и есть одна из форм разработанного в [2], [3] Р. м. Аналогично строятся приближенные решения уравнений с приближенно заданным оператором и правой частью . При этом минимизируется функционал типа (см., напр., [1-]). Возможны и другие формы Р. м. и применение его к иным классам задач(см. [1]). Р. м. развит и для решения нелинейных задач (см. [1], [4]). Лит.:[1] Т и х о н о в А. Н., А р с е н и н В. Я., Методы решения некорректных задач, 2 изд., М., 1979; [2] Т и х он о в А. Н., "Докл. АН СССР", 1963, т. 151, № 3, с. 501 04; [3] е г о ж е, там же, т. 153, № 1, с. 49-52; [4] Л а в р е н т ь е в М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962. В. Я. Арсенин, А. Н. Тихонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985