Математическая энциклопедия - регулярное кольцо

(в смысле Неймана) ассоциативное кольцо (обычно с единицей), в к-ром уравнение разрешимо для любого а. Следующие свойства ассоциативного кольца R с единицей равносильны: а) R есть Р. к.; б) каждый главный левый идеал кольца R порождается идемпотентом; в) главные левые идеалы кольца Л образуют подрешетку в решетке всех его левых идеалов, являющуюся дедекиндовой решеткой с дополнениями; г) каждый главный левый идеал кольца Rимеет дополнение в структуре всех его левых идеалов; д) все левые R-модули плоские; е) имеют место правые аналоги свойств б) д) (см. [3], [4], [5], [8], [10]).(Ввиду д) Р. к. иногда наз. а б с о л ю т н о п л о с к и м и. Коммутативное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда инъективны все простые модули над ним (см. [5]). Любой конечно порожденный левый (правый) идеал Р. к. оказывается главным и, следовательно, выделяется прямым слагаемым. Всякий неделитель нуля в Р. к. обратим. Радикал Джекобсона Р. к. равен нулю. Кольцо матриц над Р. к. оказывается Р. к. Класс Р. к. замкнут относительно перехода к прямым произведениям и факторкольцам. Идеал Р. к. является Р. к. (возможно, без единицы). Если Р. к. нётерово или совершенно (слева или справа), то оно оказывается классически полупростым кольцом. Всякое классически полупростое кольцо регулярно. . Более того, регулярным оказывается кольцо эндоморфизмов векторного пространства над телом (даже бесконечномерного), а также факторкольцо кольца эндоморфизмов инъективного левого (правого) модуля над любым кольцом по его радикалу Джекобсона (см. [3]). В частности, всякое самоинъективное слева (справа) кольцо с нулевым радикалом Джекобсона регулярно.

Групповое кольцо группы G над Р. к. регулярно тогда и только тогда, когда любая конечно порожденная подгруппа в Gконечна и порядок каждой из таких подгрупп обратим в исходном Р. к. (см. [3]). Кольца эндоморфизмов всех свободных левых R-модулей регулярны в том и только в том случае, когда R классически полупросто [6]. Счетно порожденные односторонние идеалы Р. к. проективны [8].

Если Rесть Р. к., то конечно порожденные подмодули левого R-модуля Rⁿ n -мерных строк над R образуют дедекиндову решетку Lс дополнениями, являющуюся подрешеткой решетки всех подмодулей модуля Rⁿ. Решетка Lсодержит о д н о р о д н ы й б а з и с a1, . . ., an, то есть эти элементы независимы (см. Де-декиндова решетка), их сумма равна наибольшему элементу из L(а именно, Rⁿ) и любые а i, и а j п е р с п е к т и в н ы, что означает существование для них общего дополнения. Наоборот, всякая дедекиндова решетка с дополнениями, обладающая однородным базисом, содержащим не менее четырех элементов, изоморфна решетке Lдля подходящего Р. к. R. Решетка Lизоморфна решетке главных левых идеалов кольца всех матриц над R (см. [4], [10]).

Важный частный случай Р. к.с т р о г о р е г ул я р н о е к о л ь ц о, в к-ром, по определению, разрешимо уравнение . Равносильны следующие свойства Р. к. R: а) R строго регулярно; б) R не содержит ненулевых нильпотентных элементов; в) все идемпотенты кольца R центральны; г) каждый левый (или каждый правый) идеал кольца R является двусторонним; д) решетка главных левых (правых) идеалов кольца R дистрибутивна; е) мультипликативная полугруппа кольца R является инверсной полугруппой (см, [7], [8]).

Другой подкласс класса Р. к. образуют u-регулярные кольца, где, по определению, уравнение имеет в качестве решения обратимый элемент. В классе Р. к. u-регулярные кольца характеризуются транзитивностью перспективности в решетке конечно порожденных подмодулей суммы двух экземпляров основного кольца, а также возможностью сокращать прямую сумму на конечно порожденный проективный модуль (см. [4], [8]).

Р. к. наз. н е п р е р ы в н ы м с л е в а, если непрерывна решетка его главных левых идеалов. Непрерывное Р. к. u-регулярно и разлагается в прямую сумму строго Р. к. и самоинъективного кольца. На Р. к. может быть определена псевдоранг-функция, являющаяся аналогом меры на булевой алгебре. Она определяет псевдометрику. Пополнение Р. к. по этой метрике оказывается самоинъективным Р. к. (см. [8]).

Р. к. являются частным случаем p-р е г у л я р н ы х к о л е ц, в к-рых, по определению, для каждого элемента анайдутся элемент хи натуральное число птакие, что

Как двусторонний аналог Р. к. можно рассматривать б и р е г у л я р н ы е к о л ь ц а, в к-рых, по определению, каждый главный двусторонний идеал порождается центральным идемпотентом. Каждый двусторонний идеал бирегулярного кольца является пересечением его максимальных двусторонних идеалов. Всякое бирегулярное кольцо с единицей изоморфно кольцу глобальных сечений с бикомпактными носителями пучка простых колец с единицей над бикомпактным вполне несвязным хаусдорфовым топологич. пространством, п всякое такое кольцо глобальных сечений бирегулярно (см. [2]). В коммутативном случае классы бирегулярных, строго Р. к. и Р. к. совпадают, и простые кольца в последней теореме заменяются полями.