Математическая энциклопедия - регулярная экстремаль

н е о с о б е н н а я э к с т р е м а л ь,экстремаль у(х), во всех точках к-рой выполняется условие

(1)

где F(x, у, у') - подинтегральная функция, входящая в минимизируемый функционал

Как всякая экстремаль, Р. э. есть, но определению, гладкое решение Эйлера уравнения

Точки экстремали, в к-рых выполнено условие (1), наз. р е г у л я р н ы м и т о ч к а м и. Доказано, что в каждой регулярной точке экстремаль имеет непрерывную 2-ю производную у" (х). На Р. э. 2-я производная у" (х)непрерывна. Для Р. э. уравнение Эйлера

можно записать в виде, разрешенном относительно старшей производной

Свойство регулярности (1) непосредственно связано с необходимым Лежандра условием (в усиленной форме), согласно к-рому во всех точках экстремали должао выполняться неравенство

Регулярность существенно используется при доказательстве возможности включения экстремали у(х)в окружающее ее поле экстремалей. Если хотя бы в одной точке условие (1) нарушается, то экстремаль не всегда может быть включена в поле. Условие включения экстремали в поле является одним из достаточных условий экстремума.

Приведенное определение Р. э. дано для простейшей задачи вариационного исчисления, в к-рой рассматривается функционал, зависящий от одной неизвестной функции. Для функционалов, зависящих от пнеизвестных функций:

Р. э. наз. такая экстремаль, во всех точках к-рой определитель n-гo порядка

(2)

Для более общих задач вариационного исчисления на условный экстремум (см. Больца задача).Р. э. определяется аналогично: только вместо Fв (2) следует подставить Лагранжа функцию L.

Экстремаль, у к-рой на нек-ром участке условие регулярности ((1) или (2)) нарушается во всех точках, наз. о с о б о й э к с т р е м а л ь ю, а указанный участок наз. у ч а с т к о м о с о б о г о р е ж и м а. Для особых режимов выведены необходимые условия, дополняющие известные классические необходимые условия экстремума (см. Оптимальный режим особый).

Лит.:[1] Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [2] Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.Л., 1950. И. Б. Вапнярский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985